解直角三角形在实际问题中的应用

三角函数的应用常见错误示例

一、例1 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（ ）

A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 错解： 选A.

错解分析： 该题选A是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选D.可画出草图，结合图形分析.要明白三角函数的本质只是一个比值.

正解：D.

二、例2 在△ABC中，若sinA=,且a=4,能否求出b,c的值？ 错解： ∵sinA==,∴=,∴c=6 由勾股定理，得

b=c2?a2=36?16=20=25

错解分析： 对锐角三角函数的适用条件没有认真思考，△ABC并没有说是直角三角形所以不能当做是直角三角形来求.

正解：不能，因为△ABC不一定是直角三角形.

三、例3 在△ABC中，∠B=90°，BC=3,AB=5，求tanA，cosA的值. 错解： 在Rt△ABC中，AC=AB2?BC2=52?32=4. tanA=

BC3AC4=,cosA==. AC4AB5ac234c2323错解分析： 题中已指出∠B=90°，所以AC应为Rt△ABC的斜边，而上述解法是从印象出发，误以为∠C的对边AB是斜边，因此，解题时应认

1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？（提示：过A作AD⊥BC于D）

（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

2、如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．

（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；

（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？

3、气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点

专题复习：解直角三角形的应用

1、（2014泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离.（计算结果用根号表示，不取近似值） ADCB

2、（2013泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30?，在A、C之间选择一点B （A、B、C三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶D的仰角为75?，且AB间距离为40m. （1）求点B到AD的距离；

（2）求塔高CD（结果用根号表示）。 D 30°75°A BC

3、（2011?泸州）如图，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S在船的北偏东30°，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，（运算结果保留根号） （1）求船在B处时与灯塔S的距离；

（2）若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．

4、（2013广安）如图9，广安市防洪指挥部发现渠江

《解直角三角形及应用》练习一（2015.7.10）

1．（2014?滨州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（ ） 6 A．7.5 B． 8 C． 12.5 D． 2．（2014?连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ） A．B． C． D． S1=S2 S1=S2 S1=S2 S1=S2 3．（2012?杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（ ） A．点B到AO的距离为sin54° B． 点B到AO的距离为tan36° 点A到OC的距离为sin36°sin54° C．D． 点A到OC的距离为cos36°sin54° 4．（2011?淄博）一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ） 22 A．B． （25+25）cm C． 75cm 2D． 2（25+）cm （25+）cm 5．（2011?临沂）如图，△ABC中，cosB= A． 12 B． ，sinC=，AC=5，

解直角三角形应用(一)南雅中学 范韵

课堂引入每周一清晨，学校的全体师生都要举行升旗仪式 。可是我们经常发现，在国歌声中，旗手升旗的速 度有快有慢，很难做到与音乐的节奏同步。现在我 们学校准备投资换一根电动旗杆。请你帮忙计算国 旗上升的速度，让国旗上升的速度与音乐同步。

利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的 除了用相似，还可以用其他方法来测量 长度的问题 这些不能直接测量的物体的长度吗？

探究1:如图，小明发现了另外一个利用解直角三角形，测量操场上旗杆高度的方法，离旗杆底部10米远 处，目测旗杆的顶部，仰角为30度，并已知目高为 1.65米.然后他很快就算出旗杆的高度了。 A 你能将实际问题归结为数学问题吗？

?BC

30°1.65米

10米

ED

解：由题意得，在Rt△ABE中

练习1:如图，小兰发现了另外一个测量操场上旗杆高度的方法，她把测角仪搬到教学楼的三楼窗口处，测得旗杆 的顶部仰角为45°,测得旗杆底部俯角为30°,教学楼离 旗杆底部200米，请你帮忙计算出旗杆的高度。

探究2:如图，小兰发现因为刚下过雨旗杆旁边有一滩水，不太方便测自己离旗杆得距离，她在A处测得旗杆的顶部 仰角为45°,然后后退10米测

4.4解直角三角形的应用 (1)

（一）教学三维目标 (一)知识目标

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． (二)能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 二、教学重点、难点

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 三、教学过程 1．导入新课

上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决． 2．例题分析

例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，

求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．

分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？

由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解

4.4解直角三角形的应用 (1)

（一）教学三维目标 (一)知识目标

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． (二)能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 二、教学重点、难点

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 三、教学过程 1．导入新课

上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决． 2．例题分析

例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，

求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．

分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？

由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解

填空 在Rt ABC 中, ∠C=90°. 2= a2+b2 c (1) 三边的关系是

B

cA

abC

(2) 锐角的关系是 ∠A+∠B=90°

(3)边角的关系是 (其中A可以换成B) B 的对边 ∠A ∠B A的邻边 sinA= cosA = B B 斜边 斜边

tanA B =∠B A的邻边

∠B A的对边

∠B A的邻边 cotA B = ∠A的对边 B

定义: 在Rt 中, 除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角), 由Rt 中除直角外的已知元素, 求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形 .

特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

想一想P21

船有触礁的危险吗A

如图,海中有一个小岛A,该岛四 周10海里内有暗礁.今有货轮由 西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20海里后到 达该岛的南偏西25°的C处.之后, 货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触 礁的危险吗?北 东

A

请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?B C D

要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.

问题解决

真知在实践中诞生 解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要 过点A

填空 在Rt ABC 中, ∠C=90°. 2= a2+b2 c (1) 三边的关系是

B

cA

abC

(2) 锐角的关系是 ∠A+∠B=90°

(3)边角的关系是 (其中A可以换成B) B 的对边 ∠A ∠B A的邻边 sinA= cosA = B B 斜边 斜边

tanA B =∠B A的邻边

∠B A的对边

∠B A的邻边 cotA B = ∠A的对边 B

定义: 在Rt 中, 除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角), 由Rt 中除直角外的已知元素, 求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形 .

特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.

想一想P21

船有触礁的危险吗A

如图,海中有一个小岛A,该岛四 周10海里内有暗礁.今有货轮由 西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20海里后到 达该岛的南偏西25°的C处.之后, 货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触 礁的危险吗?北 东

A

请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?B C D

要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.

问题解决

真知在实践中诞生 解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要 过点A

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全