微积分基本思想

微积分基本定理

邹城实验中学：单飞

复习1:积分上限

积分和b n

即A f ( x)dx lima积分下限

n

) b - a) / n f ( (i 1 i

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习：2、定积分的几何意义是什么？1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，那么： 定积分

b

a

f ( x )dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b

a

f ( x )dx S1 S 2 S 3

说明：f ( x) 0, f ( x ) 0,

a f ( x )dx A a f ( x )dx Ayb

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1a

A3

A2b

0

A4

b

x

a f ( x )dx A1 A2 A3 A4

复习3: 定积分的简单性质(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)a a b b

(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dxa

微积分基本定理

邹城实验中学：单飞

复习1:积分上限

积分和b n

即A f ( x)dx lima积分下限

n

) b - a) / n f ( (i 1 i

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习：2、定积分的几何意义是什么？1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，那么： 定积分

b

a

f ( x )dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b

a

f ( x )dx S1 S 2 S 3

说明：f ( x) 0, f ( x ) 0,

a f ( x )dx A a f ( x )dx Ayb

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1a

A3

A2b

0

A4

b

x

a f ( x )dx A1 A2 A3 A4

复习3: 定积分的简单性质(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)a a b b

(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dxa

微积分的思想和方法

（部分讲义）

黄 荣 第四讲

第四章 定积分与不定积分

[教学目标]

1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；

2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点]

定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议]

1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]

面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1.1原函数

▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx

则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数 cosx sinx ex en

ex xn+1 原函数 si

数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法： 5.1函数思想

函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如：

一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A版选修2–2课本37页习题）

解：设其中一段铁丝的长度为x，则另一段为l?x，面积为s

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

2013年春季

定积分与微积分的基本定理

1、定积分概念

定积分定义：如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b，将区间[a,b]等分成几个小区间，在每一个小区间[xi?1,xi]上任取一点

?i(i?1,2,?,n)，作和

f(?i)?xi??b?af(?i)ni?1，当n??时，上述和无限接近某个常数，

n[x,x],]这个常数叫做函数f(x)在区间[ab上的定积分，记作i?1i?baf(x)dx，即

?baf(xdx)?b?alimf?i()?n??ni?1，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[a,b]叫做积分区间，函

n数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

2、定积分性质 （1）（2）（3）

???babacakf(x)dx?k?f(x)dxab；

b[f1(x)?f2(x)]dx??bf(x)dx?a1?af2(x)dxbf(x)dx??bcf(x)dx??af(x)dx(a?c?b)3、微积分基本定理

'f(x)[a,b]

深大 高数 课件

第二节 微积分基本公式(下)三、牛顿 – 莱布尼兹公式

第五章

深大 高数 课件

牛顿—莱布尼茨公式设F ( x ) 是f ( x )的一个原函数, f ( t )dt 也是f ( x )的一个原函数.x a xa

f (t )dt F ( x ) C .

令 x a, 得 C F (a ),x a

0

a

a

f (t )dt F (a ) C .

f (t )dt F ( x ) F (a ).

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

深大 高数 课件

定理 ：设函数 f ( x )在[a , b]上连续，F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则

b a

f ( x ) dx F (b) F (a ) (牛顿-莱布尼兹公式)

上式说明：连续函数在一个区间上的积分等于 它的一个原函数在积分区间端点的改变量。意义：牛顿-莱布尼兹公式沟通了积分和(反) 导数这两个微积分学中最基本的概念，因此也 称为微积分基本公式。 另一种形式： F (b) F (a )

b a

F ( x ) dx .

深大 高数 课件

a f ( x )dx F (b)

中西音乐美学基本思想比较研究

1中国音乐美学发展的基本特征

根据可靠的文献记载，中国音乐美学思想、最早出现于西周末年，中国古代音乐美学思想的发展经历了五个历史时期，即西周末年至春秋末年时期(萌芽时期)、春秋末年至战国末年时期(百家争鸣时期)、两汉时期、魏晋至隋唐时期、宋元明清时期。在历史长河中，先秦时期的儒、墨、法、道、阴阳、学思想，著影响。家吸收、受到儒、汉代以后又出现佛教音乐美学思想。但墨、阴阳家的音乐美学思想虽在汉代有所繁荣，杂各家都曾提出了自己的音乐美杂家音乐美学思想对后世并无显此后虽也长期存在，却己被儒、道两融化，而失去独立研究的价值。佛教音乐美学思想在魏晋以后长期存在，但它也道两家影响，而并无影响儒、道两家音乐美学思想。

儒则产生于先秦，影响于后世，贯穿两千多年的历史，显而易见。道两家的音乐美学思想其重要性远在其他各家之千百年来，儒、道两家音乐美学思想既互相对立斗争，又互相吸取交融。曾经历过三次大的冲突:先秦时《庄子》强调法天贵真，崇尚自然，批判儒家礼乐，束缚人性，束缚音乐;魏晋时裁康以声无哀乐，否定《乐记》的表情明中叶以后李赞等以发于情性，由乎自然说，否定发乎情，止乎礼义说，以主情说否定淡和说。其吸取交融在先秦《吕氏春秋》中己有所表示