复变函数第四章课后答案详解

《复变函数与积分变换》教案 《复变函数》 第四章

章节名称：第四章 级数 学时安排：12学时

教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和

幂级数的收敛和发散的判定方法。

教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收

敛和发散的判定

教学重点：幂级数的研究 教学难点：幂级数收敛圆 教学手段：课堂讲授 教学过程： §1、复数项级数 1，复数列的极限：

1）定义：设{?n}(n?1,2,?)为一复数列，其中?n?an?ibn，又设??a?ib为一确定的复数。如果任意给定??0，相应地能找到一个正数N(?)，使?n????在n?N时成立，那么?称为复数列{?n}(n?1,2,?)在n??时的极限。记作

lim?n??。

n??也称复数列{?n}(n?1,2,?)收敛于??a?ib。

2）定理1：复数列{?n}(n?1,2,?)收敛于??a?ib的充要条件是

liman?a，limbn?b

n??n??2，级数的概念：

1）设{?n}?{an?ibn}(n?1,2,?)为一复数列，表达式

??n?1?n??1

函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法

第四章 可 测 函 数

为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.

n

§1 可测函数及其性质

教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f

函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法

第四章 可 测 函 数

为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.

n

§1 可测函数及其性质

教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f

1． 证明：E上的两个简单函数的和与乘积都还是E上的简单函数

证明：设f??ci?Ei(x)，g??di?Fi(x)，这里?Ei?i?1互不相交，?Fi?i?1互不相交

i?1i?1nmnm 令Kij?Ei?Fj，1?i?n,1?j?m

aij?ci?dj， 1?i?n,1?j?m

则易知f?g??c?ii?1nEi(x)??dj?Fj(x)???(ci?dj)?Ei?Fj(x)

j?1i?1j?1mnm先注意：若K??Ki?1mi，Ki互不相交，则?K(x)???i?1mKi(x) （m可为无穷大）

（?x?K，?i使x?Ki，?Ki(x)?1??K(x)，

?x?K,?K(x)?0，且?i，x?Ki则?Ki(x)?0）

且Ei?(Ei?(?F))?(E?(?F))??(E?F)?(E?(?F))

ccjijijijj?1j?1j?1j?1mmmm?E(x)??i?j?1m(x)??(Ei?Fj)n(Ei?(?j?1mFj)c)(x)???Ei?F(x)??j?1m(Ei?(?j?1mFj)c)(x)

同理：?Fj(x)?n??i?1Ei?Fj(x)??Fj?(?Ei)i?1mc(x)

f?g??ci?Ei(x)??dj?Fj

第四章 多组分系统热力学

4.1 有溶剂A与溶质B形成一定组成的溶液。此溶液中B的浓度为cB，质量摩尔浓度为bB，此溶液的密度为

。以MA，MB分别代表溶剂和溶质的摩尔质量，若

溶液的组成用B的摩尔分数xB表示时，试导出xB与cB，xB与bB之间的关系。 解：根据各组成表示的定义

4.2 D-果糖

此溶液在20 ?C时的密度

溶于水（A）中形成的某溶液，质量分数，

。求：此溶液中D-果糖的（1）摩尔

分数；（2）浓度；（3）质量摩尔浓度。 解：质量分数的定义为

4.3 在25 ?C，1 kg水（A）中溶有醋酸（B），当醋酸的质量摩尔浓度bB介于

和

之间时，溶液的总体积

。求：

（1） 把水（A）和醋酸（B）的偏摩尔体积分别表示成bB的函数关系。

（2）

解：根据定义

时水和醋酸的偏摩尔体积。

当时

4.4 60 ?C时甲醇的饱和蒸气压是84.4 kPa，乙醇的饱和蒸气压是47.0 kPa。二者可形成理想液态混合物。若混合物的组成为二者的质量分数各50 %，求60 ?C时此混合物的平衡蒸气组成，以摩尔分数表示。

第四章习题答案详解

32练习4.1

1. 函数f(x)?4x?5x?x?2在区间[0,1]上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.

解：f(x)?4x?5x?x?2是初等函数。在其有意义的区间(??,??)内连续， 所以在[0,1]上连续。

2又?f?(x)?12x?10x?1在?0,1?内存在，?f(x)在(0,1)内可导,

32而f(0)?f(1)??2

因此f(x)在[0,1]上满足罗尔定理所有条件。

2故有f?(?)?12??10??1?0 (0???1)

得 ?1?5?135?13?(0,1) ?2??(0,1). 1212322. 函数f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上是否满足柯西中值定理的条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.

32解：f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且g?(x)?2x?0?x?(0,1)?，所以f(x)与

g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件，故在(0,1)内至少存在一点?，使 1?03?2f(1)?f(0)f?(?)2??0???1?，即?，????0,1?. 2?12?g(1)?g(0)g?(?)333. 证明方程x

第四章习题答案详解

32练习4.1

1. 函数f(x)?4x?5x?x?2在区间[0,1]上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.

解：f(x)?4x?5x?x?2是初等函数。在其有意义的区间(??,??)内连续， 所以在[0,1]上连续。

2又?f?(x)?12x?10x?1在?0,1?内存在，?f(x)在(0,1)内可导,

32而f(0)?f(1)??2

因此f(x)在[0,1]上满足罗尔定理所有条件。

2故有f?(?)?12??10??1?0 (0???1)

得 ?1?5?135?13?(0,1) ?2??(0,1). 1212322. 函数f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上是否满足柯西中值定理的条件？若满足，求出使定理结论成立的?值.

32解：f(x)?x与g(x)?x?1在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且g?(x)?2x?0?x?(0,1)?，所以f(x)与

g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件，故在(0,1)内至少存在一点?，使 1?03?2f(1)?f(0)f?(?)2??0???1?，即?，????0,1?. 2?12?g(1)?g(0)g?(?)333. 证明方程x

1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000

元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。

r

解：.B5 10000 1.125 2000S0.12 4917.7

2. 甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的

利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。 解：x(1.0810 1) (

10x

x) 468.05,x 700.14 a100.08

3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：

104

B L(1 ) 1500S10 1200,L 16514.37

44

r

4

或L=12000v 1500a

4

4

1004

16514.37

4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。

解：10000 (x 10000i)S0.08

10000=(1.5x-20000i)S0.08 i 6.9

5.某贷款

盛建伦：《数字逻辑与VHDL逻辑设计》习题解答

习题4解答

4-1

试用与非门设计实现函数F(A,B,C,D)=Σm(0,2,5,8,11,13,15)的组合逻辑电路。

解：首先用卡诺图对函数进行化简，然后变换成与非-与非表达式。

化简后的函数

4-2

CD AB 00 01 00 1 0 01 0 1 11 10 0 1 1 0 11 10 0 0 1 1 1 0 0 0 A

& & BC& & & & & F& F?B?C?D?A?B?D?BCD?ACD?B?C?D?A?B?D?BCD?ACD?B?C?D?A?B?D?BCD?ACDD& 试用逻辑门设计三变量的奇数判别电路。若输入变量中1的个数为奇数时，输出为1，否则输出为0。

解：本题的函数不能化简，但可以变换成异或表达式，使电路实现最简。 真值表： 逻辑函数表达式： A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Y 0 1 1 0 1 0 0 1 =1 A B C 逻辑图

1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000

元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。

r

解：.B5 10000 1.125 2000S0.12 4917.7

2. 甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的

利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。 解：x(1.0810 1) (

10x

x) 468.05,x 700.14 a100.08

3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：

104

B L(1 ) 1500S10 1200,L 16514.37

44

r

4

或L=12000v 1500a

4

4

1004

16514.37

4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。

解：10000 (x 10000i)S0.08

10000=(1.5x-20000i)S0.08 i 6.9

5.某贷款