利用整体思想求值

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利用整体思想，巧解数列问题

作者：王海鸥

来源：《试题与研究·教学论坛》2014年第02期

数列是高中数学重要的内容之一，也是“学数学、用数学”的重要载体之一，它能有效培养与检测学生的创新能力和数学素养。整体思想，就是从全局着眼，由整体入手，把一些表面上独立而实质上紧密联系的量作为整体考虑的思想方法。应用整体思想解决数列问题，能很快抓住问题的本质，体现思维的敏锐性、独创性、深刻性，同时可以优化运算过程，节省解题时间，快速而准确地解决问题。下面举例介绍利用整体思想，巧妙解决数列问题中的应用。 一、整体代入，化难为易

总之，整体思想是最常用、最基本的数学思想之一，它是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的一种方法。它是数学解题的一种重要策略，是提高解题速度的一种重要途径。数学解题中整体思想的运用，就是以开阔视野看待所考察的对象，要求立足全局，整体思考，统一处理数学问题，经常接受这种思维方法的训练，可以增强思维的广阔性、敏捷性和深刻性，能够更有效的提高学习效率，达到强化训练的目的。

中考数学专项讲解 整体思想

知识梳理

整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．

典型例题

一、在数与式的运算中的应用

【例1】 已知代数式3x2－4x+6的值为9，则x2?【分析】 如果根据题意直接求出x再代入到x?24x?6的值为 ( ) 3 A．18 B．12 C．9 D．7

4x?6中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考3442虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是x?x的3倍，所以可以将x2?x看作一个整体，则

334x2?x?6?1?6?7．

3【解】D

此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，

一．化简

m×5+4×n x×2×y （3＋a）×6

n×1＋a÷2 a×6a 7a+2×2b- 3a

15x-8x+15 2h+3×8+7h s+56÷8+7s

5y+9x÷3 8k-7+14k6x+x2+5x

8a－a+10 （4x-y）-（3y-x）5m+5n－5m+5n

4x－(2x+2)6x×5x+7b 18÷2x－3x

二，化简求值

当a=9，b=8，c=2时，a﹣（b﹣c）的值是（ ） A. 5 B． 4 C． 3 D． 2

2．当a=3，b=5时，7×（a+1）÷b的值是（ ） A． 7.8 B． 5.6 C． 4 D． 2.8

3.当x=2，y=1时，式子2x+8y的值是（ ） A． 12 B． 16 C． 14

4．已知2x=8，则3x﹣2=（ ） A． 4 B． 10 C． 12

5．如果x+2.5=3.3，那么9x﹣4x=（ ） A． 4 B． 8 C． 4.6

6．已知3x+7=25，那么6

代数式求值（一） 方法：直接带入法 【典型例题】

例1 当x?2,y?1时，求代数式x2?xy?y2?1的值。

212

例2 已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的有理数，求代数式2x3?5x2y?3xy2?15y3的值。

11??例3．已知x???1??3??，求代数式x1999?x1998?x1997???x?1的值。

26??3

例4 已知

例5 当x?7时，代数式ax3?bx?5的值为7；当x??7时，代数式ax3?bx?5的值为多少？

例6 已知当x?5时，代数式ax2?bx?5的值是10，求x?5时，代数式ax2?bx?5的值。

1

2?2a?b?3?a?b?2a?b的值。 ??5，求代数式

a?b2a?ba?b

【巩固练习】

1．当a?17，b?13时，求a2?ab?b2的值。

2．已知a?b?3，b?c?2；求代数式?a?c??3a?1?3c的值。

23.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m?3，求代数式213?a?b??6cd?3m2?m的值。

2

111??4．已知x???1????2?，求代数式x1999?2x1998?3x199

整体思想

一. 填空题(共2小题)

1."整体思想"是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如：已知m+n= - 2, mn= - 4,则2 (mn - 3m) - 3 (2n - mn)的值为___________ .

2.代数式求值时我们常常会用到整体思想，简单的讲就是把一个代数式看作一个整体，进行适当的变形后代入求值.例如：已知a+2b=2,求l?a?2b的值，我们可以把a+2b看成一个整体，则-(a+2b) = - a - 2b= - 2,所以1 ■ a ■ 2b=l ?2=?1.请你仿照上面的例子解决下面的问题：若a2 - 2a?2=0,则5+a? -U2= 2 ---------

二. 解答题(共4小题)

3.用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看出一个数的整体，试按提示解答下面问题.

(1)已知A+B=3×2 - 5×+l, A?C=? 2X+3×2? 5,求当x=2 时B+C 的值.

提示：B+C= (A+B)?(A-C)

(2)若代数式2×2+3y+7的值为8,求代数式6x2÷9y+8的值.

提示：把6x2÷9y+8变形为含有2x2+3y+7的形式.

(3)已知xy=2x+2y,求代数式(3x -

整体思想在初中数学教学中的渗透

合沟中学 张可标

摘要：整体思想是系统论中的整体原理在数学中的具体反映，它是一种重要的解题策略和数学观念，整体思想要求在解题时不仅要发挥各个部分的功能，更要重视通过分解、组合以至改造等手段，发挥各部分相互结合而产生的新功能， 提高整体解题效率。这篇主要利用数学解题的实例介绍整体思想在数学解题中的特殊作用和解题的巧妙之处，介绍了在初中教学中渗透整体思想的重要作用，并在初中数学中即是合理的贯穿整体思想的教学。 关键词：整体思想 初中数学

整体思想是系统论中的整体原理在数学中的具体反映，它是一种重要的解题策略和数学观念，整体思想具体反映在数学教学中，要求在解决数学问题中不拘泥于问题的各个组成部分，而是将要解决的数学问题看成是一个整体，通过研究整体形式和结构特征，达到顺畅便捷地解决问题的目的。

整体思想要求在解题时不仅要发挥各个部分的功能，更要重视通过分解、组合以至改造等手段，发挥各部分相互结合而产生的新功能， 提高整体解题效率。

由于初中学生年龄、心理等的不足，往往会因缺少经验而有其片面性的特点，不能从整体上把握问题的特征，以求简单快捷的解决问题，如：

?3a?b?4已知方程组? ，求a+b的值。

2

代数式求值

【典型例题】

例1 若2m?6,4n?2，求22m?2n?2的值．

例2 若2a?3,46?6,8c?12，求a,b,c之间的数量关系．

例3 己知x2?y2?4x?6y?13?0,求x+y的值.

例4 已知x2?y2?2x?4y?5?0，求x?y的值．

例5 已知a?a?1??b?a

111例6 已知x2?3x?1?0，求x?,x2?2,x4?4的值．

xxx

?2?a2?b2?ab的值． ?2，求2【经典练习】

1

1．已知3m?4,3m?4n?4，则2003n的值是多少？ 81

2．计算(x?2y)(x?2y)?(2x?y)(?2x?y)其中x=8,y=-8

3．已知a?b?3,ab?4，求a2?b2的值．

4．已知x2?y2?27,x?y?3，求（1）x?y；（2）

5．若3m?6,27n?2，求32m?3n的值．

26．如果?2x?m??4x2?12x?n，求m?n的值．

2

y． x

7．化简求值：a2?b2a2?b2??a?b??a?b?．其中a?4,b?22????1． 4

8．已知x?y?4,xy?1

2014年国考行测：高瞻远瞩，整体思想

华图教育 周德让

在公务员行测考试数学运算模块的解题过程中，有一类重要的思想是经常被应用到的，同时也是容易被考生忽视， 这就是“整体思想”。

“整体思想”在考试中如何被应用了的呢？我们通过几个立即进行理解：

【例1】某城市有A、B、C、D四个区，B、C、D三区的面积之和是A的14倍，A、

C、D三区的面积之和是B的9倍，A、B、D三区的面积之和是C区的2倍，则A、B、C三区的面积之和是D区的( )。

A.1倍

C.2倍 B.1.5倍 D.3倍

根据本题的条件我们可以很容易地列出如下方程组：

B C D 14A

A C D 9B

A B D 2C

而题目所要求的是（A+B+C)和D的关系，如果直接根据上面的式子找它们之间的彼此关系会比较麻烦，此时如果我们应用整体思想来看待就比较方便。我们记“总=A+B+C+D”,则根据上面的方程组我们可以得出如下关系式：

1总15

1总 B 10

1C 总3A

因此A+B+C=1/2总，D=1/2总，答案为A.

【例2】某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A工程需要25天，丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工

软 件 学 院

课程设计报告书

课程名称 数据结构 设计题目 算术表达式求值演示程序 专业班级 学 号

姓 名 指导教师

2012年 1月

0

目录

1.设计时间 ..................................................... 2 2.设计目的 ..................................................... 2 3.设计任务 ..................................................... 2 4.设计内容 ..................................................... 2 4.1需求分析 ................................................... 2 4.2总体设计 ......

《汇编语言程序设计》

综合程序设计实验报告

题 目：班 级：

姓 名： 学 号： 20112820

完成日期： 2013-11-24

一、项目简介

题目完成了对简单的加减乘除四则表达式的求值，同时能判断各种运算级括号的优先级，进行正确的运算顺序。

二、小组成员具体分工

韩亚华：完成判断优先级方法设计，以及细节的处理。

姜力比：完成输入输出函数的设计，以及各运算函数。

三、需求分析与设计

要完成四则运算表达式求值必须解决以下问题

1.如何在汇编环境下输入并保存操作数

2.如何保存运算符和比较运算符的优先级

3.如何输出计算结果

4.负数和括号的细节问题

四、代码及分析

DSEG SEGMENT

STR1 DB 0AH,0DH, 'please input the expression:("N"jump out)$'

SIGN1 DW 0 ;判断数字是否输入完毕

SIGN2 DW 0 ;判断括号是否配对

;SIGN3 DW 0 ;

NUMB DW 20H DUP(0) ;保存输入的数值

MARK DB 'A' ;保存输入的运算符

DB 10H DUP(0) ;

ERROR DB 'YOUR INPUT ARE WRON