数学选修2-1空间向量与立体几何知识点

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空

数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试

（时间90分钟，满分100分）姓名： 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．若a、b、c为任意向量，m?R，下列等式不一定成立的是（ ） A．(a?b)?c?a?(b?c) B．(a?b)·c?a·c?b·c C．m(a?b)?ma?mb D．（a·b)c?a(b·c) 2．已知ABCD是四面体，O为△BCD内一点，则AO?1(AB?AC?AD)是O为△3BCD的重心的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8，则?等于（ ） 922 A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－

55553．若向量a?(1,?,2),b?(2,?1,2),a、b夹角的余弦值为4．在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①．a?b?a?b是a、b共线的充要条件； ②．若a∥b，则存在唯一的实数?，使a??·b；

③．对空间任意一点O和不

一对一授课教案

学员姓名： 年级： 所授科目：

上课时间： 年 月 日 时 分至 时 分共 小时

老师签名 教学主题 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 空间向量与立体几何 学生签名

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

? ????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

???b，记作a//b。

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3

选修2-1

第三章空间向量与立体几何教材分析

根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：

“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”

一、内容与课程学习目标

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量。

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的

《空间向量与立体几何》_导学案

南康二中 高二数学◆选修2-1◆导学案

.

1

试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b, a

b.

.b2. 点C在线段AB上，且AC 5, CB2则

AC AB

, BC AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

⑴加法交换律：A. + B. = B. + a； ⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)； ⑶数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb． ※ 典型例题 例1 已知平行六面体ABCD A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴ AB

⑵ BCAB AD ；

AA

'；⑶ AB AD 1 CC '

⑷12

( AB

AD 2

AA ')．

变式：在上图中，用 AB , AD , AA'表示 AC' , BD '

和 DB '.

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时

个帅哥帅哥的ffff 3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系

学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．

知识点一 向量法判断线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直

43

2，，1?，平面α的法向量为μ2＝?3，2，?，则直线l思考 若直线l的方向向量为μ1＝?2??3??与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？

2

答案 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直

3线l与平面α垂直．

判断直线与平面的位置关系的方法：

(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.

(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.

梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．

高中新课标数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题

一、选择题

1．空间的一个基底 a，b，c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个 答案：Ｃ

，2， 1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则BC （ ） 2．已知A(14，2) Ａ．(0，

4， 2) Ｂ．(0，

Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个以上

4，0) Ｃ．(0，0， 2) Ｄ．(2，

答案：Ｂ

3．已知向量a (x1，y1，z1)，b (x2，y2，z2)，若a b，设a b R，则a b与x轴夹角的余弦值为（ ）

x1 x2

R

答案：Ｄ Ａ．

Ｂ．

x2 x1

R

Ｃ．

x1 x2

R

Ｄ．

(x1 x2)

R

，MB，MC的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则4．若向量MA

，MB，MC成为空间一组基底的关系是（ ） 能使MA

1 1 1

Ａ．OM OA OB OC

333 Ｂ．MA MB MC 1 2 Ｃ．OM OA OB OC

33

Ｄ．MA 2MB MC 答案：Ｃ

5．正方体ABCD A1B1C1

空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (??a

南雅中学2014年高二年级数学单元检测卷

(时间：120分钟，满分：150分)

班级： 学号： 姓名：

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．) 1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则( )

111312

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

2262632．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( )

A．6 B．5 C．4 D．3

3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为( )

1

A．3 B．2 C．1 D.

24．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 →→→→→

5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α