多元函数抽象函数求导

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

高等数学微积分教程

第三节

多元复合函数微分法

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第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

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例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

课件

第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

课件

导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

课件

( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

课件

左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = li

经典习题1

3?1. 若函数f(2x?1)的定义域为??1,??,则函数f(log2x)的定义域为( )

?2?1?A. ??,2? B. 2???1??14 C. ,2?,???2??2??12? D.?,4??2?2? ?2. 若f(n?1)?f(n)?1(n?N*),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A．102 B．99 C．101 D．100

3. 定义R上的函数f(x)满足：f(xy)?f(x)?f(y),且f(9)?8,则f(3)?（ ） A．2 B．2 C．4 D．6

2(?a)?1f(?a)0?4. 定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(?x)??f(x)。若f1恒成立，则实数a的取值范围是___________________.

5. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数x,y,都有:f(xy)?f(x)?f(y)成立.则不等式f(log2x)?0的解集是__

6. 已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数a的取

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大学高等数学(大一)

第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x,

篇一：抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

f(x)”有关问题解法

f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地

掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。

表示原自变量x的代数式，从而求出

f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生

x

)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u

例1：已知

f(

∴

f(x)?

2?x

1?x

2.凑合法：在已知

f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，

还能进一步复习代换法。

例2：已知

11f(x?)?x3?3

xx

，求

f(x)

解：∵

1111111

f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1

xxxxxx|x|

∴

f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设

第七章 多元函数微积分

一、填空题 1．函数z?arcsin2．设z?xy?arcsin的定义域为（a＞0，b＞0）____________________。 ab?z1?________________________________。 ，则?xxy3．设z?y2x，则

?z?________________________________。 ?x4．设z?xy?x3，则

?z?z??____________________________。 ?x?y5．若f(x?y,x?y)?xy?y2，则f(x,y)?____________________。 6．limsinxy?________________________。

x?0xy?227．若z?x?y?f(x?y)且当y?0时z?x，则f(x)?________，z?________。 8．lim(1?x?ky??xy)?___________________。 yy?029．设二元函数z?ln(x?y)，则dzx?1?________________________。

10．设z?arcsin(xy)，则

?z?___________________。 ?y11．设f(x,y)?x?y?