二次函数经典例题及答案
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二次函数最值经典例题收录
二次函数最值问题 专题 第 4 讲
一、兴趣导入(Topic-in): 二、学前测试(Testing):
重点梳理: 1、二次函数一般形式为:y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为: 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知: 当x满足 时,y随着x的增大而增大; 当x满足 时,y随着x的增大而减小。
3、数形结合讨论最值问题, 1)在X取任意实数时有: ?当a?0时,图像开口 ,函数在x?处取得最小值为,无最大值;
?当a?0时,图像开口 ,函数在x?处取得最大值为,无最小值.
2)函数中m?x?n时有: ?当a?0时,数形结合分类讨论函数的最值问题: 1)当m??
最大值为 。 2)当?
最大值为 。 3)当n??
最大值为
二次函数经典解答题及答案 (1)
二次函数经典解答题
1.如图,抛物线y=ax2+bx的对称轴为y 轴,且经过点(,),P为抛物线上一点,A (0,).
(1)求抛物线解析式;
(2)Q为直线AP上一点,且满足AQ=2AP.当P运动时,Q在某个函数图象上运动,试写出Q点所在函数的解析式;
(3)如图2,以P A为半径作⊙P与x轴分别交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)两点,当△AMN为等腰三角形时,求点P的横坐标.
【分析】(1)抛物线y=ax2+bx的对称轴为y轴,则b=0,将点(,),代入y=ax2,即可求解;
(2)分点Q在点P下方(点Q位置)、点Q在点P上方(点Q′位置),两种情况分别求解;
(3)分AM=AN、AM=MN、AN=MN,三种情况分别求解.
【解答】解:(1)抛物线y=ax2+bx的对称轴为y轴,则b=0,
将点(,),代入y=ax2并解得:a =,
故抛物线的表达式为:y =x2;
(2)设点Q的坐标为(x,y),点P(m ,m2),
①当点Q在点P下方时(点Q位置),
∵AQ=2AP,
∴P为AQ的中点,
第1 页共3 页
由中点公式得:m =x ,m2=,
整理得:y =x2﹣;
②当点Q在点P上方时(点Q′位置),
同理可得:y =﹣x2+;
Q点所在函数的解析式为:y =
幂函数经典例题(答案)
幂函数的概念
例1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限
1
C.当幂指数α取1,3,2时,幂函数y=xα是增函数
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
解析 当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数.
答案 C
1
例2、已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x5(7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,求实数t的值.
p
分析 关于幂函数y=xα (α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设q (|p|、|q|互质),
pp
当q为偶数时,p必为奇数,y=xq是非奇非偶函数;当q是奇数时,y=xq的奇偶性与p的值相对应.
解 ∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1, ∴t=-1,1或0.
7
当t=0时,f(x)=x5是奇函数;
2
当t=-1时,f(x)=x5是偶函数;
828
当t=1时,f
中考二次函数压轴题及答案
二次函数压轴题精讲
1.二次函数综合题
(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项.
(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件. (3)二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.
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例1. 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交
点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P
中考二次函数压轴题及答案
二次函数压轴题精讲
1.二次函数综合题
(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项.
(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件. (3)二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.
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例1. 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交
点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P
二次函数图像问题及答案(难题)
二次函数图像性质
1、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示,OA=OC,则下列结论: ①abc<0;②4ac?b2;③ac?b??1; ④2a?b?0;⑤OA?OB??y2c; aA-2⑥4a?2b?c?0。其中正确的有( ) A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,OA=OC,则( ) (A) ac+1=b; (B) ab+1=c; (C)bc+1=a; (D)以上都不是
O1CBx第1题图 y C A O x 3,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,给出以下结论:① a+b+c<0;② a-b+c<0;③ b+2a<0;④ abc>0 .其中所有正确结论的序号是( )
A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③
y
O -11x
图2
4.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分;图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,
给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是________________.(填序号)
5.y=a
中考二次函数压轴题及答案
二次函数压轴题精讲
1.二次函数综合题
(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项.
(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件. (3)二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.
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例1. 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴的交
点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P
中考二次函数经典习题课
中考二次函数经 典习题课
二次函数考点 1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a,b,c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6二次函数与一元二次方程的关系 7二次函数的综合运用
1、二次函数的定义 定义: y=ax² + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a≠0) 定义要点:①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习:1、y=-x² ,y=2x² -2/x,y=100-5 x² ,y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数?m2 m
- 2χ+1
2、二次函数的图像及性质y 0(0,c)
(0,c)
y
b 4ac b 2 2a , 4a
x b 4ac b 2 2a , 4a
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直
初中二次函数知识点及经典题型
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)
(2)两根 当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时,即对应二次好方程
ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2),二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式
y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点,则不能这样表示。
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3) 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数,a?0)
知识点八、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小
4ac?b2b值),即当x??时,y最值?。
4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2,那么,首先要看?围x1?x?x2内,若在此范围内,则当x=?b时,y最值2ab是否在自变量取值范2a4ac?b2?;若不在此范围
4a内,则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而
22增大,则当x?x2时,y最大?ax2?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax1?bx1?c;如2果在此范围内,y
指数函数经典例题(答案)
指数函数
1.指数函数的定义:
函数)1
(≠
>
=a
a
a
y x且叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R
2.指数函数的图象和性质:
在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y=
x
?
?
?
?
?
2
1
,y=x
10,y=
x
?
?
?
?
?
10
1
的图象. 我们观察y=x2,y=
x
?
?
?
?
?
2
1
,y=x
10,y=
x
?
?
?
?
?
10
1
图象特征,就可以得到)1
(≠
>
=a
a
a
y x且的图象和性质。
a>1 0<a<1
图
象
6
5
4
3
2
1
-1
-4-2246
1
6
5
4
3
2
1
-1
-4-2246
1
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在 R上是增函数(4)在R上是减函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨.
1.比较大小
例1已知函数2
()
f x x bx c
=-+满足(1)(1)
f x f x
+=-,且(0)3
f=,则()x
f b与
()x f c 的大小关系是_____.
分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内.
解:∵(1)(1)f