初中二次函数经典例题及答案

二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般 一般式：y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

（2）两根 当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程

ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式

y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3） 顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0)

知识点八、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小

4ac?b2b值），即当x??时，y最值?。

4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?围x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?b时，y最值2ab是否在自变量取值范2a4ac?b2?；若不在此范围

4a内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而

22增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax1?bx1?c；如2果在此范围内，y

初中二次函数考题规律

例1 已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2图像经过原点，则m的值是

例2 如图，如果函数y＝kx＋b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y＝kx2＋bx－1的图像大致是（ ）

a b c d

例3 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝3(5)，求这条抛物线的解析式。例4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。例5 已知⊿ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为(—1，0)，求 (1)B，C，D三点的坐标； (2)抛物线经过B，C，D三点，求它的解析式； (3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。例6 把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再

二次函数最值问题 专题 第 4 讲

一、兴趣导入（Topic-in）: 二、学前测试(Testing):

重点梳理： 1、二次函数一般形式为：y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为： 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知： 当x满足 时，y随着x的增大而增大； 当x满足 时，y随着x的增大而减小。

3、数形结合讨论最值问题， 1）在X取任意实数时有： ?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最小值为，无最大值；

?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最大值为，无最小值．

2）函数中m?x?n时有： ?当a?0时，数形结合分类讨论函数的最值问题： 1）当m??

最大值为 。 2）当?

最大值为 。 3）当n??

最大值为

二次函数经典解答题

1．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y 轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．

（1）求抛物线解析式；

（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；

（3）如图2，以P A为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，将点（，），代入y＝ax2，即可求解；

（2）分点Q在点P下方（点Q位置）、点Q在点P上方（点Q′位置），两种情况分别求解；

（3）分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，三种情况分别求解．

【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，

将点（，），代入y＝ax2并解得：a ＝，

故抛物线的表达式为：y ＝x2；

（2）设点Q的坐标为（x，y），点P（m ，m2），

①当点Q在点P下方时（点Q位置），

∵AQ＝2AP，

∴P为AQ的中点，

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由中点公式得：m ＝x ，m2＝，

整理得：y ＝x2﹣；

②当点Q在点P上方时（点Q′位置），

同理可得：y ＝﹣x2+；

Q点所在函数的解析式为：y ＝

初中求解二次函数的解析式

一．填空题（共18小题） 1．（2015?河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为 ．

2．如图，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式： ．

3．（2012春?贺兰县校级月考）二次函数的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0．

4．（2009秋?南京校级期末）二次函数y=x﹣4x的图象的顶点坐标是 ．

5．（2009?福州质检）二次函数y=（x﹣2009）图象的对称轴是x= ． 6．（2014秋?费县校级期中）已知二次函数图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数图象的关系式是 ． 7．（2010?常熟市校级二模）某二次函数的图象如图所示，则它关于x轴对称的抛物线的解析式为 ．

22

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8．二次函数y=ax的图象过（2，1），则二次函数的表达式为 ．

9．（2013?城西区校级一模）二次函数y=x+a的图象过点（1，4），则a= ． 10．（2014秋?宁波期中）图象的顶点为（﹣2，﹣2 ），且经过原点的二次函数的解析式是 ． 11

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

初中数学二次函数做题技巧

初中数学中考要点及二次函数试题精要

I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

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例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数图像性质

1、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论： ①abc＜0；②4ac?b2；③ac?b??1； ④2a?b?0；⑤OA?OB??y2c； aA-2⑥4a?2b?c?0。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

2、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ ） （A） ac+1=b; （B） ab+1=c; （C）bc+1=a; （D）以上都不是

O1CBx第1题图 y C A O x 3，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a－b+c＜0；③ b+2a＜0；④ abc＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③

y

O -11x

图2

4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，

给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)

5．y＝a