相遇和追及问题公式

3-1-3多次相遇和追及问题

教学目标

1. 学会画图解行程题

2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题

知识精讲

板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题

所有行程问题都是围绕“路程?速度?时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

【例 1】 （难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每

秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300?10?3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了

3000?3.5?1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行3.5?4300?200?100米才能回到出发点．

【巩固】 （难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是

每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】 1

相遇、追及问题

一、 相遇问题

两个物体从不同地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动能使两运动物体在途中相遇，它是研究速度和、相遇时间、总距离（总路程）之间的关系，解答相遇问题的关键是要求出两物体在同一时间的速度之和，又称速度和。

例题1：两辆汽车从A、B两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？

EX1：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？

EX2：甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米，经过18小时两车途中相遇，两地间的铁路长多少千米？

相遇问题中存在的数量关系：速度和 × 相遇时间 = 路程和 路程和 ÷ 相遇时间 = 速度和 路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间

例题2：北京到沈阳的铁路长830千米，两辆火车同时相向开出10小时相遇，已知甲车每小时行41千米，乙车每小时行多少千米？

EX1：甲、乙两

相遇、追及问题

一、 相遇问题

两个物体从不同地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动能使两运动物体在途中相遇，它是研究速度和、相遇时间、总距离（总路程）之间的关系，解答相遇问题的关键是要求出两物体在同一时间的速度之和，又称速度和。

例题1：两辆汽车从A、B两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，经过3小时两车相遇，A、B两地相距多少千米？

EX1：两列火车同时从两地相对开出，甲列火车每小时行86千米，乙列火车每小时行102千米，经过5小时两车在途中相遇，求两地相距多少千米？

EX2：甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米，经过18小时两车途中相遇，两地间的铁路长多少千米？

相遇问题中存在的数量关系：速度和 × 相遇时间 = 路程和 路程和 ÷ 相遇时间 = 速度和 路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间

例题2：北京到沈阳的铁路长830千米，两辆火车同时相向开出10小时相遇，已知甲车每小时行41千米，乙车每小时行多少千米？

EX1：甲、乙两

小学常用公式

和差问题

和倍问题

和÷（倍数+1）＝小数差倍问题

差÷（倍数-1）＝小数植树问题

1单条线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树, 那么: 棵数＝全长÷间隔长＋1＝间隔数＋1 全长＝间隔

长× （棵数－1）间隔长＝全长÷ （棵数－1）⑵如果在非封闭线路的一端要植树, 另一端不要植树,那么: 棵数＝间隔数＝全长÷间隔长全长

＝间隔长×棵数间隔长＝全长÷棵数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树, 那么: 棵数＝全长÷间隔长－1＝间隔数－1 全长＝间隔长× （棵数＋1）间隔长＝全长÷ （棵数＋1）

2双边线路上的植树问题主要也有三种情形：参考单条线路上的植树问题，注意要除以2。

3环形或叫封闭线路上的植树问题的数量关系如下棵数＝间隔数＝全长÷间隔长全长＝间隔长×棵数间隔长＝全长÷棵数盈亏问题

（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题

相遇路程＝速度和

高一物理

匀变速直线运动相遇和追及问题

考点1：追击问题

【例1】物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离．

【变式1】如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向做直线运动的υ－t图象，由图象可以看出 （ 〕 A．这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末 B．这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末 C．两物体相距最远的时刻是2s末 D．4s末以后甲在乙的前面

【变式2】（2011·新课标全国卷）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

【变式3】(2011·安徽省级示范高中名校联考)甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的v－t图象如图所示，关于它们的运动，下列说法正确的是( )

2

A．甲车中的乘客说，乙车先以速

行程问题：多次相遇、追及问题

1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A，B两地的距离？

【分析】：

多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑

甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了 。第三次两车共行了5个全程，乙行了5× = 个全程，第四次相遇两车共行了7个全程，乙行了7× = 个全程，两次路程差是 个全程，所以AB两地相距200千米

2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行，乙的速度是甲的 ，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A﹑B两地相距多少千米？

【分析】：

第一次相遇，甲乙的路程和是一个全程，甲行的路程是全程的 ，乙行了全程的 ，第二次相遇，甲乙的路程和是3个全程，此时甲行了 ×3= 个全程，两次相遇的距离是 个全程，即20千米，所

第七讲 简单的相遇与追及

姓名

追及问题与相遇问题的区别在于运动的方向，及由此而引出的速度和与速度差；共同点是双方所用的时间是相等的。在解答追及问题时，关键是抓住速度差去分析和思考，同时画线段图辅助解题是一种行之有效的方法。

【引入】甲乙两人相距200米，甲每分钟走45米，乙每分钟行55米。几分钟后两人相距500米？ 分析与解： 1.反方向运动：

相背：(500-200)÷(45+55)=300/100=3（分钟）

相遇再相背：(500+200)÷(45+55)=700/100=7（分钟） 2.同方向运动：

追上再超过：(500+200)÷(55-45)=700/10=70（分钟） 追不上：(500-200)÷(55-45)=300/10=30（分钟）

【典型例题1】甲乙两人分别从相距20千米的两地同时相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人几小时后相遇？

分析与解：20÷（6＋4）＝2小时。

【边学边练1】A、B两地相距540千米，一列客车与一列货车分别从A、B两地相向而行，客车每小时行120千米，货车每小时行90千米，已知客车出发1小时后，货车才出发，求货车出发几小时后，两车相遇？

提示与

行程问题：多次相遇、追及问题

1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A，B两地的距离？

【分析】：

多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑

甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了 。第三次两车共行了5个全程，乙行了5× = 个全程，第四次相遇两车共行了7个全程，乙行了7× = 个全程，两次路程差是 个全程，所以AB两地相距200千米

2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度

甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行，乙的速度是甲的 ，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A﹑B两地相距多少千米？

【分析】：

第一次相遇，甲乙的路程和是一个全程，甲行的路程是全程的 ，乙行了全程的 ，第二次相遇，甲乙的路程和是3个全程，此时甲行了 ×3= 个全程，两次相遇的距离是 个全程，即20千米，所

多人相遇和追及问题

知识框架

二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“路程?速度?时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：

路程和?速度和?相遇时间；

路程差?速度差?追及时间；

多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

例题精讲

【例 1】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，

乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?

【巩固】 甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，

途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．

MSDC模块化分级讲义体系

小学奥数.行程.多人相遇和追及问题（B级）.学生版

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【例 2】小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.

小李骑

1 专题1.4 追及与相遇问题

追及和相遇是一类常见的运动学问题。解答此类问题的关键条件是：两物体能否在同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系。一是相遇位置与各物体初始位置之间存在一定的位移关系；二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。因此要抓住题目中的研究对象，看其是否同时同地出发。

方法提炼

一、解决追及与相遇问题的三个关系

1. 位移关系：根据两物体的初始运动的位移，画出运动示意图，简称位移关系。

2. 时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。

3. 速度关系：在追及问题中，如果二者存在速度相等的时刻，一定要注意速度相等这个临界条件。 在后面物体没有追上前面物体的情况下，当后面物体比前面物体运动快时，两物体距离减小，速度相等时距离最小；当后面物体比前面物体运动慢时，两物体距离增大，速度相等时距离最大。

所以当两者速度相等时，两物体相距最近或最远。

这是列关系式的切入点，也是判断是否能追上的依据。

二、解决追及与相遇问题的常用方法

1. 物理分析法：抓住时间关系，建立位移关系式。注意速度相等这个临界条件。

2. 数学函数法：根据位移关系列方程，根据方程的解判断能否相遇或相遇几次，求出相应的物理量。

3. 图像法：利用v-t 图像的