角动量是矢量吗

第11讲

刚体和角动量

导读

考纲中刚体的要求中掌握刚体定轴转动。其实对于平面平行运动，换一个参照系，就变成了定轴转动。所以考纲神马的可以参考一下… 例题精讲

虽然转动惯量的计算是不要求的，但是不掌握总还是缺了些什么…. 【例1】利用量纲分析估算一下问题。

a) 某天地球能量不够用了，大家决定把地球按比例缩小0.1%（保持质量和角动量守恒），问这

样能放出多少能量？

b) 田亮同学可以在10米跳台项目中可以完成动作107C即“向前飞身翻腾三周半抱膝”。现在我们想

完成动作109C即“向前飞身翻腾四周半抱膝”。能做的事情是把田亮同学按比例缩小（密度不变，身体结构不变，肌肉强度正比于横截面，离台过程视为质心的匀加速过程）。问题：需要把他缩小到多少比例才可以完成这个动作？

【例2】计算以下物体绕轴的转动惯量。

(1) 均质杆，质量为m，长度为l，绕着垂直于杆所在平面并通过质心的轴旋转。

a) 直接积分计算

b) 把一个根杆视为两个半截杆相加的结果，利用平行轴定理求解。

(2) 匀质正三角板，质量为m，边长为l，绕着垂直于板平面并通过质心的轴旋转。

a) 直接积分计算

b) 把一个正三角板视为4个小正三角板之和，利用平行轴定理求解。

(3) 模仿前两问

第五章 角动量角动量守恒定理

本章结构框图

学习指导

本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒??一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求

1. 理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2. 理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3. 理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4. 掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。

5. 理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。

1

6. 掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1. 基本概念

刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个

第三章 动量与角动量Momentum and Angular Momentum

E

本章主要内容§3-1冲量与动量定理§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理

§3-4质心§3-5质心运动定理 §3-6质点的角动量和角动量定理 §3-7角动量守恒定律 §3-8质点系的角动量定理

§3-9质心参考系的角动量

E

第三章

动量与角动量

动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学中十 分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律是自 然界普遍遵循的基本规律。 经典力学 牛顿运动定律 动量守恒定律 角动量守恒定律 牛顿运动定律

量子力学 相对论力学

E第三章 动量与角动量

§3-1冲量与动量定理

Impulse and Theorem of Momentum

E

瞬时式

p mv —— 动量 dp —— 力的作用可以使动量变化。 F dt —— 力对时间的积累等于动量增量。 Fdt dp冲量(对dt)

力 F 对时间间隔 0 t 的冲量为

I

t

Fdt

0

动量定理

t

0

p I dt F dtd 0

第七讲 角动量及其守恒

1、力矩

表述 由点到力的作用点的矢径r与力F的矢量积称为力F对点O的力矩，即

???M?r?F

注释:

⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量．力矩不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对哪个点而言的．

⑵力矩是矢量，其大小为，式中，?为r与力F方向M?Frsin??FdM O S d r m F 间（小于180o）的夹角，d到点O力矢量的延长线

?的距离,称作力臂,显然，若力的作用线通过参考点，力臂为零，则力矩为零．

⑶力矩的方向由右手旋法则确定，即将右手的四个手指由矢量r沿小于180

图1.2.1 o转至力F的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图1.2.1所示，力矩M垂直于r和F构成的平面。

2、冲量矩和角动量（动量矩）

冲量矩 力对某定点的力矩M与力矩作用的微小时间间隔dt的乘积，称为力矩M在时间dt内的冲量矩，而在t1到t2的一段时间内的冲

第七讲 角动量及其守恒

1、力矩

表述 由点到力的作用点的矢径r与力F的矢量积称为力F对点O的力矩，即

???M?r?F

注释:

⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量．力矩不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对哪个点而言的．

⑵力矩是矢量，其大小为，式中，?为r与力F方向M?Frsin??FdM O S d r m F 间（小于180o）的夹角，d到点O力矢量的延长线

?的距离,称作力臂,显然，若力的作用线通过参考点，力臂为零，则力矩为零．

⑶力矩的方向由右手旋法则确定，即将右手的四个手指由矢量r沿小于180

图1.2.1 o转至力F的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图1.2.1所示，力矩M垂直于r和F构成的平面。

2、冲量矩和角动量（动量矩）

冲量矩 力对某定点的力矩M与力矩作用的微小时间间隔dt的乘积，称为力矩M在时间dt内的冲量矩，而在t1到t2的一段时间内的冲

刚体的角动量，角动量守恒定律

1. 选择题

题号：01011001 分值：3分

难度系数等级：1

人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒．

(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．

(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． ［ ］

答案：（C）

题号：01012002 分值：3分

难度系数等级：2

人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B．用L

和EK分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) LA>LB，EKA>EkB． (B) LA=LB，EKAEKB． (D) LA

答案：（C）

题号：01013003 分值：3分

习题

4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I； （2）质点所受张力T的冲量IT。 解：

（1）根据冲量定理：?Fdt?t0t??P?P0dP??P

其中动量的变化：mv?mv0

在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。

重力产生的冲量=mgT=2?mg/?；所以拉力产生的冲量?2?mg/?，方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F在1s到3s间所做的功； （2）其他力在1s到s间所做的功。 解：

（1）由做功的定义可知：

W?x233?x1Fdx??1Fvdt?v?Fdt?v?S椭圆?125.6J

1（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-

第三章 动量与角动量Momentum and Angular Momentum

E

本章主要内容§3-1冲量与动量定理§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理

§3-4质心§3-5质心运动定理 §3-6质点的角动量和角动量定理 §3-7角动量守恒定律 §3-8质点系的角动量定理

§3-9质心参考系的角动量

E

第三章

动量与角动量

动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学中十 分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律是自 然界普遍遵循的基本规律。 经典力学 牛顿运动定律 动量守恒定律 角动量守恒定律 牛顿运动定律

量子力学 相对论力学

E第三章 动量与角动量

§3-1冲量与动量定理

Impulse and Theorem of Momentum

E

瞬时式

p mv —— 动量 dp —— 力的作用可以使动量变化。 F dt —— 力对时间的积累等于动量增量。 Fdt dp冲量(对dt)

力 F 对时间间隔 0 t 的冲量为

I

t

Fdt

0

动量定理

t

0

p I dt F dtd 0

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.一

冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、

2 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0 pi

质点的角动量定理和角动量守恒定律

pj

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 ,质点相对于原 O 的位矢为 r 点的角动量

Lx

z

ro

L r p r mv 大小 L rmv sin

m y

v

L

v

为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量

L 的方向符合右手法则. 质点以角速度 作半径L mr J 2

r p

L

m o r

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 2 质点的角动量定理

第四章 刚体的转动

L r p

dL d dp dr (r p) r p dt

第七章 电子自旋角动量

实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。

本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性

??电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger方程的

时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，

??现在从Schrodinger方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋

作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、

??外加的自由度，添加在Schrodinger方程上。到目前为止，非相

对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻 1。

§7.1 电子自旋角动量

1, 电子自旋的实验基础和其特点

早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子2p?1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912