数列恒成立问题

数列中的恒成立问题

【常用方法和策略】：

数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．

数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；

与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．

【课前预习】：

1. 已知数列?an?是无穷等差数列，a1?1，公差d?0，若对任意正整数n，前n项的和与前3n项的和

之比为同一个常数，则数列?an?的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，Sn?n?n(n?1)d3n(3n?1)dS，S3n?3n?，设n?t为常数，则22S3n?d?2?9td?d?dn?2?d?9tdn?6t?3td对?n?N*恒成立，所以?，由于d?0，解得?1

t??2?d?6t?3td??9故an?2n?1

2. 设Sn是等差数列?an?的前n项和，若数列?an?满足an?Sn?An2?Bn?C且A?0，则

的最小值为 ．

【解析】根据an?Sn?An2?Bn?C及等差数列的性质，可设Sn=An2+Dn

莅 临 指 导

热 烈 欢 迎 专 家

关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；

思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。

不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。

从 数 的 角 度

ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数

2 a x

=2

max

不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。

a 2

a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2

,

f ( x) ax 2 0恒

已知函数f(x)?x?ax?bx?a（a、b?R）

1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值

2.若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

解：（1）由f(x)?x?ax?bx?a， 得f'(x)?3x?2ax?b

由 函数y?f(x)在点x?1处有极值10 可得以下3条信息（第<3>条作为验证用）： <1>： 函数在x?1处的导数为0，故 3?2a?b?0； <2>：函数在x?1处的函数值为0，故 1?a?b?a?10， 由以上两式整理可得 ?23222322???a?3??a?4??0

??b??3?2a解得 ??a??3?a?4，或 ?

b?3b??11??若 ??a??322， 则 f'(x)?3x?6x?3?3?x?1?在R恒大于等于0，

?b?3可见 y?f(x)在R上为单调递增函数，尽管在x?1处导数为0，但x?1并不是极值点）【——这就是第<3>条信息：可以解释成<3>：方程f'(x)?3x?2ax?b?0必须有两个不相等的根，这两个根，才分别都是极值点。如果两个根相等，则（都）不是极值点。】 ．．．所以 只有?2?a?4符合要求，

?b??11即 b??11

（2）对于任意的a???4,

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，a?f(x)恒成立，则有a?f(x)max

a?f(x)恒成立，则有a?f(x)min

（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x??a,b?，f(x)?0恒成立，那么只需f(x)min?0

?x??a,b?，使得f(x)?0，那么只需f(x)max?0 2.对于双变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x1,x2??a,b?，f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)min?g(x)max 如：化简后我们分析得到，对?x1??a,b?，?x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需

f(x)min?g(x)min

如：化简后我们分析得到，?x1??a,b?，x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)max?g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 类型2：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)

b?b??b??????????????（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a， 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0?f(?)?0a?0（2）当时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0?b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：

f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型4：

f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?

()(2

≠++=a c bx ax x f 1. （1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；

（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.

3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.

4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ， {}|13,B x x A B =<<≠?I ，求实数a 的取值范围.

)0()(2

≠++=a c b x a x x f

第 课时

一、课题

不等式中恒成立问题的解法研究 二、高考要求

不等式中的恒成立问题，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

三、目的与要求：

四、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序

用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:

（1）恒成立问题

若不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最小值大于A,

若不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最大值小于B.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,即f x A在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最大值大于A,

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,即f x B在区间D上能成立, ,则等价于函数

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

联系电话:15166630349 邮箱:649265828@

以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

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含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

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以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

含参不等式恒成立问题例析

廖东明

含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．

一、已知参数范围求自变量的求值范围

例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．

分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．

解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-?+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于

(2)0(3)0g g ->??>?，即22815030

x x x x ?-+>??->??，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -?<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a