高等数学函数极限与连续

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函数:

?1?g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

f x x2

x3 1

x 1与函数g x x 1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f x x2

x3 1

x 1与g x 函数关系相同，但定义域不同，所以f x 与g x

x 1

是不同的函数。

2、如果f x M（M为一个常数），则f x 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn 1 是有界数列，但极限不存在

n

4、n

liman a，liman a．

n

n

n

n

错误 如：数列an 1 ，lim( 1)

x

1，但lim( 1)n不存在。

n

5、如果limf x A，则f x A （当x 时， 为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果 ～ ，则 o ．

1，是

∴lim lim 1 0，即 是 的高阶无穷小量。

2

7、当x 0时，1 cosx与x是同阶无穷小．

2

xx 2sin2sin

1 cosx1 1 lim lim2 正确 ∵limx 0x 0x 04

经济数学

前言 一、“高等数学”的学科定位

“高等数学”，是以极限论为工具研究变 量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。

研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。

以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。

1、高等数学 初等数学，

2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。

3、同样是微积分，还有层次的高低问题。 4、在内容的系统上，其主线是运用极限论

工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实

第一章 函数、极限、连续

习题一

一．选择题

1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（ ） A.f(x)?x,g(x)?x2 B.f(x)?2lgx,g(x)?lgx2

x,g(x)?x2C.f(x)?x D.f(x)?x,g(x)??x

2.函数y?4?x?sinx的定义域是( ) A.?0,1? B.?0,1??1,4? C.?0,??? D.?0,4? 3.下列函数中,定义域为(??,??)的有( ) A.y?x?1323 B.y?x2 C. y?x3 D.y?x?2 4.函数y?x2?1单调增且有界的区间是( ) A. ??1,1? B. ?0,??? C. ?1,??? D. ?1,2?

5.设y?f(x)?1?logx?32,则y?f?(x)?( )

A.2x?3 B. 2x?1?3 C. 2x?1?3 D. 2x?1?3

6.设f(x)?ax7?bx3?cx?1,其中a,b,c是常数,若f(?2)?2，则f(2)?( A.-4 B.-2 C.-3 D.6 二．填空题 1．f(x)?3?xx?2的定义域是

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高等数学—第二章

极限与连续基础课教学部 数学教研室

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第八节

函数的连续性

一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限

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一、函数改变量 定义2.11 变量t由初值 t1 改变到终值 t 2 , 则称 t t 2 t1 为变量t的改变量。 等价定义：设函数 y= f (x) U ( x , ) 有定义，若自变量x 在 x 0 改变到 x 0 x ( x 0 ), 则函数 y 的改变量为 从 y f ( x 0 x ) f ( x ). 函数的增量0

yy f (x)

y y

y f (x)

y x0

x

x0

x0 x

x

0

x0

x0 x

x

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例1 设正方形边长为x,求边长改变量为Δx 时， 面积的增量。 2 y x 解： 设正方形的面积： 当边长变为x+Δx时，面积为： 2 y1 x x . 则面积的改

函数、极限、无穷小、连续性

专题一：求函数表达式

?1,1.（90）设函数f(x)???0,?x22.（92）设函数f(x)??2?x?x2x?1x?1则f?f(x)?= 1

?x2?x则f(?x)=?2x?0?xx?0x?0x?0

x23.（92）设f(x?1)?ln2且f(??x?)?lnx则??(x)dx?x?2lnx?1?c

x?2?2?x 4．（97）设g?x????x?2??15.（01）设f?x?????0?x2，f?x???x?0??xx?0?2?x2则g(f(x))=?x?0?2?xx?0x?0x?0，

x?1 则ff?f?x??= 1 x?1??

专题二：求数列极限

1.（03）设?an?，?bn?，?cn?均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有：

n??n??n?? A an?bn对任意n成立 B bn?cn对任意n成立 C 极限liman?cn不存在 D 极限limbn?cn不存在

n??n??2.（98）设数列xn与yn满足limxn?yn?0则下列断言正确的是：

n??A 若xn发散，则yn必发散

函数、极限、无穷小、连续性

专题一：求函数表达式

?1,1.（90）设函数f(x)???0,?x22.（92）设函数f(x)??2?x?x2x?1x?1则f?f(x)?= 1

?x2?x则f(?x)=?2x?0?xx?0x?0x?0

x23.（92）设f(x?1)?ln2且f(??x?)?lnx则??(x)dx?x?2lnx?1?c

x?2?2?x 4．（97）设g?x????x?2??15.（01）设f?x?????0?x2，f?x???x?0??xx?0?2?x2则g(f(x))=?x?0?2?xx?0x?0x?0，

x?1 则ff?f?x??= 1 x?1??

专题二：求数列极限

1.（03）设?an?，?bn?，?cn?均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有：

n??n??n?? A an?bn对任意n成立 B bn?cn对任意n成立 C 极限liman?cn不存在 D 极限limbn?cn不存在

n??n??2.（98）设数列xn与yn满足limxn?yn?0则下列断言正确的是：

n??A 若xn发散，则yn必发散