高中数学导数及其应用教案
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新高中数学导数及其应用
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高中数学导数及其应用
一、知识网络 二、高考考点
1、导数定义的认知与应用;
2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义; 4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义 (Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x(△x可正可
负),则函数y相应地有增量,这两个增量的比
,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
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时,有极限,则说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处
的导数(或变化率),记作,即。
(Ⅱ)如果函数导,此时,对于开区间(在开区间(在开区间()内每一点都可导,则说在开区间()内可,这样)内的导)内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数在开区间()内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做函数(简称导数),记作或,即。 认知: (Ⅰ)函数是一个数值; 的导数在点是以x为自变量的函数,而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 (Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ; ②求平
高中数学高考综合复习导数及其应用
高中数学高考综合复习导数及其应用
导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用; 2、求导公式与运算法则的运用; 3、导数的几何意义;
4、导数在研究函数单调性上的应用; 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用; 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 (一)导数 1、导数的概念 (1)导数的定义 (Ⅰ)设函数
在点
及其附近有定义,当自变量x在
处有增量△x(△x可正可负),则函
数y相应地有增量 ,这两个增量的比 ,叫做函数
在点 到 这间的平均变化率。如果 时, 有极限,则说函数 在点 处可导,
并把这个极限叫做 在点 处的导数(或变化率),记作
,即
高中数学高考综合复习导数及其应用
。
(Ⅱ)如果函数对于开区间(
在开区间(
)内每一点都可导,则说 ,都对应着一个确定的导数
在开区间(
在开区间(
)内可导,此时,
)内构 或
,
)内每一个确定的值 ,这样在开区间(
成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 )内的导函数(简称导数),记作
即
认知: (Ⅰ)函数数值;
(Ⅱ)求函数 ①求函数的增量
在点
在点
的导数 处的导数
。
是以x为自变量的函数,而函数 是
的导函数
当
在点 处的导数 是一个
时的函数值。
处的导数的三部曲:
;
②求平均
高中数学选修2-2《导数及其应用》检测题
1高中数学选修2-2《导数及其应用》检测题
一、 选择题(每题5分,共60分)
1.定积分
1?0x2dx的结果是 ( )
A.1
1 B.3
1 C.2 1 D.6
?y等于( ) ?x2.已知函数f(x)?2x?1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x,1+△y),则A.4 B.4x C.4?2?x D.4?2?x 3. 已知函数y?f(x)在x?x0处可导,则limh?022f(x0?h)?f(x0?h)等于 ( )
h
A.f/(x0) B.2f/(x0) C.-2f/(x0) D.04. 函数y?2x3?3x?cosx,则导数y/=( ) A.6x?x2?231?32?sinx B.2x?x?sinx
32221?1?2C.6x?x3?sinx D.6x?x3?sinx
3325.方程2x3?6x2?7?0在区间(0,2)内根的个数为
y ( )
A.0 B.1 C.2 D.3 6.函数f(x)的定义域为开区
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案
§1.1.1平均变化率
教学目标:
1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. (一)、探究新知,揭示概念 教学过程设计 一.创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. (二)、探究新知,揭示概念 实例一:气温的变化问题
现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图:
(注: 3月18日
为第一天)
1、你从图中获得了哪些信息?
2 、在“4月18日到20日”,该地市民普遍感觉“气温骤增”,而在“3月18日到4月18日”却没有这
1
样的感觉,这是什么原
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案
§1.1.1平均变化率
教学目标:
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
教学难点:平均变化率的概念.
(一)、探究新知,揭示概念
教学过程设计
一.创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
(二)、探究新知,揭示概念
实例一:气温的变化问题
现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图:
1、你从图中获得了哪些信息?
(注:3月18日
为第一天)
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2 、在“4月18日到20日”,该地市民普遍感觉“气温骤增”,而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉,这是什么原因呢?
3、怎样从数学的角度描述“气温变化的
高中数学教育教学论文 浅谈导数的应用
1 浅谈导数的应用
重视知识的发生发展过程,以能力立意,突出理性思
维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法,在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性,为我们所学过的有关函数问题,曲线问题提供了一般性的方法,运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减,使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位,和新课程改革的不断深入,因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注,已成为高考命题的新热点。
一、用导数求曲线的切线
导数的几何意义:函数y=f (x)在x=x 0处的导数,就是曲线
y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率,利用上述结论,可以求解曲线的切线及相关问题。
[例1](2003年全国高考题新课程卷)
已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l 是c 1和c 2的公切线,当a 为何值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出公切线的方程。
解:函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2
曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为:
高中数学教育教学论文 浅谈导数的应用
1 浅谈导数的应用
重视知识的发生发展过程,以能力立意,突出理性思
维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法,在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性,为我们所学过的有关函数问题,曲线问题提供了一般性的方法,运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减,使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位,和新课程改革的不断深入,因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注,已成为高考命题的新热点。
一、用导数求曲线的切线
导数的几何意义:函数y=f (x)在x=x 0处的导数,就是曲线
y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率,利用上述结论,可以求解曲线的切线及相关问题。
[例1](2003年全国高考题新课程卷)
已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l 是c 1和c 2的公切线,当a 为何值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出公切线的方程。
解:函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2
曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为:
高中数学典型例题解析:第十章 - 导数及其应用
第十章 导数及其应用
一、知识导学
§10.1导数及其运算
1.瞬时变化率:设函数y?f(x)在x0附近有定义,当自变量在x?x0附近改变量为?x时,函数值相应地改变?y?f(x0??x)?f(x),如果当?x趋近于0时,平均变化率
?yf(x0??x)?f(x0)趋近于一个常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝??x?x对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数c称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率。
2.导数:当?x趋近于零时,
f(x0??x)?f(x0)趋近于常数c。可用符号“?”记作:
?x当?x?0时,
f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?c,符号“?”?c或记作lim?x?0?x?x读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率,通常称作f(x)在x?x0处的导数,并记作f?(x0)。
3.导函数:如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导。这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f?(x)。于是,在区间(a,b)内,
f?(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y?f(x)的导函数。记为f?(x)或y?(或y?x)。
4.导数的四则运算法则:1)函数和(或
高中数学导数练习题
考点一:求导公式。 例1. f (x)是f(x)
13
x 2x 1的导函数,则f ( 1)的值是。 3
1
x 2,则2
考点二:导数的几何意义。
,f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。
, 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1
考点三:导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C:y x3 3x2 2x,直线l:y kx,且直线l与曲线C相切于点
x0,y0 x0 0,求直线l的方程及切点坐标。
考点四:函数的单调性。
例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数,求a的取值范围。
考点五:函数的极值。
例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 (1)求a、b的值;
3],都有f(x) c成立,求c的取值范围。 (2)若对于任意的x [0,
考点六:函数的最值。
例7. 已知a为实数,f x x 4 x a 。求导数f' x ;(2)若f' 1 0,求f x
2
2
在区间 2,2 上的最大值和最小值。
考点七:导数的综合性问题。
3
例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线
高中数学导数练习题
专题8:导数(文)
经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数,则f?(?1)的值是 。 32 解析:f'?x??x?2,所以f'??1??1?2?3 答案:3
考点二:导数的几何意义。
例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1处的切线方程是y?,f(1))1x?2,则2f(1)?f?(1)? 。
解析:因为k?11,所以f'?1??,由切线过点M(1,f(1)),可得点M的纵坐标为2255,所以f?1??,所以f?1??f'?1??3 22答案:3
例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1,?3)处的切线方程是 。
解析:y'?3x?4x?4,?点(1,?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5,所以设切
232,?3)带入切线方程可得b?2,,?3)线方程为y??5x?b,将点(1所以,过曲线上点(1处的切线方程为:5x?y?2?0 答案:5x?y?2?0
点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C:y?x?3x?2x,直线l:y?kx,且直线l与曲线C相切于