高等代数在解析几何中的应用

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浅谈高等代数在空间解析几何中的应用

作者：丰璐

来源：《新校园·上旬刊》2014年第11期

摘 要：高等代数与空间解析几何具有紧密的联系。本文主要是讨论高等代数中的行列式、向量及线性方程组这三个数学工具在空间解析几何中的实际应用。 关键词：行列式；向量；齐次线性方程组；空间解析几何

空间解析几何主要研究两类问题，即用代数方法研究几何图形的几何结构，及用图形的方法给出方程的直观几何解释。高等代数的知识是空间解析几何的主要研究工具，同时空间解析几何也可以使较抽象的高等代数有一个直观的几何应用。因此高等代数与空间解析几何具有紧密的联系，本文主要讨论高等代数中的行列式、向量及齐次线性方程组这三个代数工具在空间解析几何中的应用。

一、向量在空间解析几何中的应用

向量是高等代数中的重要内容，空间解析几何利用三维向量的相关代数知识把直观的几何图形的几何结构转化为代数的定量计算。由下面的例子来说明此问题：

例1：设L，M，N分别为ΔABC三边BC，CA，AB的中点，证明：三中线向量■，■，■可以构成一个三

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab |a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

ab

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ab 0 x1x2 y1y2 0 （6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab x1x2 y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证：cos( ) cos cos sin sin 。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于A

高等代数的相关理论在几何上的应用

班级：经数1401 学号：20140236 姓名：石凯

内容摘要：本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．

关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换

1.导言

高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．

“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探

高等代数与解析几何复习题

第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵

A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。

? 。

2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设

A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,

(A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。

????122???6.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。

?03?7.设矩阵A???2

基金项目：北京联合大学应用文理学院科研项目

高等代数与解析几何合并教学的思考和探索

吕书强１　马青华１　蔡春１　李小平２

１、北京联合大学应用文理学院信息科学与技术系　１００１９１２、机械工业信息研究院　１０００３７

随着高等教育改革步伐的加大和加快，对人才的培养越来越强调应用性和综合素质的提高，专业课与实践课的课时比例要增加，基础课的课时比例要减少，让学生掌握系统的基础理论知识，必然要进行教学改革，将内容联系紧密且又有重复的课程进行合并。近几年来，许多院校已将高等代数与解析几何合并成一门课，并在这门课的建设中做了大量的工作［１～３］。作为一个新生事物，它的成熟需要一个过程，它的完善需要广大师生对它进行不断探索。我们学院在这门课程的改革中取得了一些成功的经验，也有一些值得思考与探索的问题。

代数与解析几何在内容上出现了许多交叉和重复的地方，解析几何中的一些问题的解决常常用到高等代数中的一些概念、结论，但这些结论出现较晚，使高等代数与解析几何的衔接出现滞后，同时在讲授高等代数的部分理论内容时，由于几何背景贫乏，又在一定程度上造成与解析几何的脱节。因此将《高等代数》与《解析几何》这两门课程合并教学，首先不仅精简教学内容，省出许多宝贵的时间，而且能体现知识的

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －