量子力学课后答案周世勋第二版

1

量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）

； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

c

hv d kT

hv v v 1

1

83

3

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πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

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v

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λ

πλ

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λ

λλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511

86

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-kT

hc kT

hc

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hc

λλλλλ

πρ

2

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量子力学习题及解答

1

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

c

hv d kT

hv v v 1

1833

-?

=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

有

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(5-?=?=??

? ??-=-=kT

hc v v e

hc c

d c d d dv λλλ

πλλρλλλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511

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?

??

-?+--?=-kT

hc kT hc e

kT hc e hc λλλλλ

§5.1 非简并定态微扰理论

如何分？假设 把微扰

本征值及本征函数较容易解出或已有现成解， 是小量能看成微扰，在已知解的基础上，

的影响逐级考虑进去。

代入方程

同次幂相等

（

（1）

(2)

(3)

① 求能量的一级修正

(2)式左乘

并对整个空间积分

1

能量的一级修正 等于 在

态中的平均值。

②求对波函数一级修正

将

仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含

将上时代入式 (2)

左乘上式，对整个空间积分

以

令

上式化简为：

2

③求能量二级修正

把 代入(3)式，

左乘方程（3）式，对整个空间积分

左边为零

讨论：（1）微扰论成立的条件：

(a) 可分成 ，

是问题主要部分，精确解已知或易求

(b)

（2）可以证明

<<1

例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场

作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

【解】

3

是 的偶函数

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量子力学习题及解答

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e c

hv d kT

hv v v 1

1

833

-?

=πρ， （1）

以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

有

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18)()

(5-?=?=??

? ??-=-=kT

hc v v e

hc c

d c d d dv λλλ

πλλρλλλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511

86

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-kT hc kT

hc

e kT hc e

hc

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1ehvkTdv， ?1 （1）

?v?c，

以及

（2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d??(?)?v?c?????

?8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

??hc1??'???6?hc?5???0 hc????kT???e?kT?1?1?e?kT? ?5?hc?1hc?0

??kT1?e?kT8?hc1? ?

5(1?e?

量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长 m与温度T成反比,即

; m T=b(常量)

并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8 hv3

vdv 3

c

1e

hvkT

dv, (1) 1

以及 v c, (2)

vdv vd , (3)

有

dvd

c d

v( )

d

v( ) c

8 hc 5

1e

hckT

, 1

这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时, 取得极大值,因此,就得要求 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作 m。但要注意的是,还需要验证 对λ的二阶导数在 m处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的 m就是要求的,具体如下:

'

8 hc

6

e

1

hc kT

hc1 5 hc kT 1 1 e kT

0

5

hc

kT

11 e

hc k

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

量子力学第二版,苏汝铿

第四章 矩阵力学基础(II)—表象理论

龙时磊 200431020006

姜雷 200431020010

4.5设粒子处在宽度为a的无限深方势阱中,求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示。

解:一维无限深方势阱的归一化波函数是:

2n x

n(x) sin

aa

的矩阵元是: 该波函数是能量本征函数，任何力学量F

Fmn m n

2am x n x F dx sinFsindx 0a0aa

a

此公式用于坐标矩阵：

xmn

2am xn xsinsindx 0aaa1a(m n) x(m n) x [cos cos]xdx (1)

0aaa4amn 2{1 ( 1)m n 1}22[m n]

此式不适用于对角矩阵元. 当m=n时，得对角矩阵元：

xmm

a 2m xa sinxdx ⑵ 20a2a m x dm x2 n

sinsindx 2 0aidxaa2i

动量矩阵元(非对角的)

pmn

sin

m xn x

cosdx aa

2 imn

(1 ( 1)n m 1) ⑶ 222

a(n m)2 n 2

ai

pmm

sin

m xn x

cosdx 0

xi wang

和L 的矩阵分别为 2和L 的共同表象中，算符L L4.5 设已知在Zxy

0 i0 010

2

Lx i0 i 101 Ly 22 0i 0 010

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。

x的久期方程为 解：L

0

2

0 3 2 0

22 0

2

1 0， 2 ， 3 的本征值为0， ， ∴Lx Lx的本征方程

a1 010 a1

101 a2 a2

2 a

010 a3 3

a1 2和L 共同表象中的矩阵 的本征函数L 其中 a2 设为LZx

a3

当 1 0时，有

10 a1 0 0

101 a2 0 2 010 a3 0 a 0 2 a a，a2 0 13 0 a3 a12 0 2 a a

1

∴ 0 0

a1

由归一化条件

a1 2 **

(a,0,

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(