高中数学平面向量数量积公式

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

预习课本P103～105，思考并完成以下问题

(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？

(3)向量数量积的性质有哪些？

(4)向量数量积的运算律有哪些？

[新知初探]

1．向量

平面向量数量积的 物理背景及其含义

教学目标：掌握平面向量数量积的概念， 掌握平面向量数量积的概念，能用它来 表示向量的模及向量的夹角

教学重点：平面向量数量积的运算律， 平面向量数量积的运算律，用它来表示向量的模及向量的夹角

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解， 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用

如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功？ 所作的功？ F θ S A B F

力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

W= F S cosθ

已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积，记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角， |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义：数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得

高中数学说课稿：《平面向量数量积》优秀说课

稿模板

一：说教材

平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求

通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。

（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法

在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法

因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以

第 1 页

这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。

（2）讲解式教学法

主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演

§6 平面向量数量积的坐标表示

A组

1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=( )

A.20 C.(-10,30)

B.54 D.(-8,24)

解析:∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6),

∴(a·b)(a+b)=(-10,30).

答案:C

2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是( ) A. C.

则cos θ=. 答案:B

3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=( ) A.4 答案:D

4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是( ) A. B. C. D.

解析:由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为. 答案:D

5.导学号03070107直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为( ) A.x-3y+15=0 C.x+3y-5=0

B.x-3y+5=0 D.x-3y-15=0 B.3

C.

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.4 平面向量的基数量积

第1课时 平面向量数量积的物理背景及其含义

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题． 观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考： (1)如何计算力F所做的功？ 提示：W＝|F||s|cos_θ.

(2)力F在位移方向上的分力是多少？ 提示：|F|cos_θ.

(3)力做功的大小与哪些量有关？

提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 2．归纳总结，核心必记 (1)向量的数量积的定义

已知条件 定义 记法 规定 (2)向量的数量积的几何意义 ①投影的概念：

(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ． (ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ． ②数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积． (3)向量数量积的性质

1

向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ 数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积) a·b＝|a||b|cos_θ 零向量与任一向量的数量积为0 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

平面向量的数量积

教学目标：

(i)知识目标:

（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、追溯

????1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?

?????????aaaa叫与b的数量积，记作?b，即?b = |||b|cos?，(0????)并规定0与任何向量的

数量积为0 ??????aaa2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3．两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?； 2?a?b ? a?b = 0

???????????????3?当a与b同向时

1 平面向量的数量积

【考点梳理】

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)几何意义：数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a 2b ＝b 2a ；

(2)数乘结合律：(λa )2b ＝λ(a 2b )＝a 2(λb )；

(3)分配律：a 2(b ＋c )＝a 2b ＋a 2c .

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.

考点一、平面向量数量积的运算

【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →2BC →的值为( )

A ．－58

B ．18

C ．14

D ．118

(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →2AP →的最大值为

________.

[答案] (1)B (2) 6

2 [解析] (