基本积分公式表

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们

深大 高数 课件

第二节 微积分基本公式(下)三、牛顿 – 莱布尼兹公式

第五章

深大 高数 课件

牛顿—莱布尼茨公式设F ( x ) 是f ( x )的一个原函数, f ( t )dt 也是f ( x )的一个原函数.x a xa

f (t )dt F ( x ) C .

令 x a, 得 C F (a ),x a

0

a

a

f (t )dt F (a ) C .

f (t )dt F ( x ) F (a ).

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

深大 高数 课件

定理 ：设函数 f ( x )在[a , b]上连续，F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则

b a

f ( x ) dx F (b) F (a ) (牛顿-莱布尼兹公式)

上式说明：连续函数在一个区间上的积分等于 它的一个原函数在积分区间端点的改变量。意义：牛顿-莱布尼兹公式沟通了积分和(反) 导数这两个微积分学中最基本的概念，因此也 称为微积分基本公式。 另一种形式： F (b) F (a )

b a

F ( x ) dx .

深大 高数 课件

a f ( x )dx F (b)

2.基本积分公式表

(1)∫0dx=C (2)(3)(4)(5)

=ln|x|+C

(m≠-1，x>0) (a>0,a≠1)

(6)∫cosxdx=sinx+C (7)∫sinxdx=-cosx+C (8)∫sec2xdx=tanx+C (9)∫csc2xdx=-cotx+C (10)∫secxtanxdx=secx+C (11)∫cscxcotxdx=-cscx+C (12)(13)注．(1)(2)

=arcsinx+C =arctanx+C 不是

在m=-1的特例．

=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．

事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =(3)要特别注意积分．

下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

3.不定积分的四则运算

根据微分运算公式 d(f(x)?g(x))=df(x)?dg(x)

与

.

的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的

d(kf(x))=kdf(x)

我们得不定积分的线性运算公式

(1)∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx (2)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx，k是非零常数.

现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．

常 用 积 分 公 式

（一）含有ax?b的积分(a?0) 1．

dx1＝?ax?balnax?b?C

2．(ax?b)dx＝

??1(ax?b)??1?C（???1）

a(??1)3．

x1dx(ax?b?blnax?b)?C ＝?ax?ba2x21?1?dx＝3?(ax?b)2?2b(ax?b)?b2lnax?b??C 4．?ax?ba?2?5．

dx1ax?b＝??x(ax?b)blnx?C

6．

?dx1aax?b＝??ln?C 22x(ax?b)bxbx7．

1bx(lnax?b?)?C dx＝?(ax?b)2a2ax?b1b2x2)?C 8．?dx＝3(ax?b?2blnax?b?aax?b(ax?b)29．

?dx11ax?b＝?ln?C

x(ax?b)2b(ax?b)b2x（二）含有ax?b的积分

23(ax?b)?C ?3a2(3ax?2b)(ax?b)3?C 11．?xax?bdx＝215a22(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 12．?xax?bdx＝3105a10．

ax?bdx＝13．

?2xdx＝2(ax?2b)ax?b?C

3aax?b1

14．

?2x2(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C dx＝31

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

08070141常用导数和积分公式

导数公式：

? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx

???1?(x)??x (2)

? (4) (cosx)??sinx

(5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

(9)

(ax)??axlna (log1 (11)

ax)??xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

(cotx)???csc2x (cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2(arccotx)???11?x2

(6)

(8) (10) (12)

(14)

(16)

08070141常用导数和积分公式

基本积分表

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx

高等数学积分公式表

常 用 积 分 公 式

（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++

2．()d ax b x μ+?＝11()(1)

ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++

4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()

x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b

++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2

31(2ln )b ax b b ax b C a ax b

+-+-++ 9．2d ()

x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++

的积分

10．x C

11．x ?＝22(3215ax b C a

-

12．x x ?＝22232(15128105a x abx b C a

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b

(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b

b

a

说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.

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结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质1证

∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

b

b

b

∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n

λ→ 0 i=1

=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质2证b

∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )

§2 基本积分方法

一、换元积分法

?第一类换元积分法 换元积分法?第二类换元积分法?◆ 1．第一类换元积分法：

设f(u)，?(x)为连续函数，?(x)可导，且

?①

u??(x)f[?(x)]?'(x)dx?????????f(u)du?F(u)?C，则

?f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C

常见的凑微分形式：

1f(ax?b)d(ax?b) a1② f(axn?b)dx?f(axn?b)d(axn?b)

na③ ?f(ex)exdx??f(ex)d(ex)

??f(ax?b)dx???1f(lnx)dx?f(lnx)d(lnx)

x⑤?f(sinx)cosxdx??f(sinx)d(sinx)

④

???f(cosx)sinxdx???f(cosx)d(cosx) ⑦?f(tanx)secxdx??f(tanx)d(tanx)

⑥

2⑧

?f(arcsinx)1?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)

例2.1计算

?arctanxdx

x2(1?x2)解:令arctanx?t，dx?sec2tdt，则

?arctanxtsec2tt22dx?dt?t(csct?1)dt??tdcott? 22222x(1?x)t