实数系连续性的六个基本定理相互等价

2011届本科毕业论文

题目：实数连续性基本定理的等价性

所在学院：数学科学学院 专业班级：数学07-4班

学生姓名：努尔阿米乃姆.阿提汗 指导教师：塔实甫拉提老师 答辩日期：2011年5月10日

新疆师范大学教务处

新疆师范大学2011届本科毕业论文

目 录

1 引言.......................................................................................................................... 1 2 实数连续性的基本概念.......................................................................................... 1

2.1 有关实数连续性的定义............................................................................... 1 2.2 有关实数连续性

实数系基本定理的等价性证明

实数系基本定理的等价性证明

邹宏运 20091101342

数学科学学院 数学与应用数学专业 2009级汉班 指导教师 刘官厅

摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性

在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理.

在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余

的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的.

六个定理的顺序：

① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明：

摘 要

实数集合的连续性是实数系的一个基本特征, 它是微积分学的坚实的理论基础. 人们从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,得到了一连串的有关实数的连续性定理,其中包括:确界存在定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理等.

本文主要阐述实数集八个基本定理及其相关内容,而且在基于实数系连续性公理基础之上,顺序证明了这八个基本定理.首先用单个定理做基础来证明其它的定理,其中重点求证了有限开覆盖定理及区间套定理和其它定理间的等价关系；而后,运用和一般教材不同的证明顺序先后对八个定理进行了循环证明,继而得出定理之间相互等价；最后,介绍它们在研究连续函数性质方面的重要应用并进行了推广,获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解. 关键词: 连续性；区间套；有限开覆盖；等价性

Abstract

Continuity of the set of real numbers is basic character of the real number system, and it is stable theory background of calculus. People described and d

实数连续性循环证明及相互证明

关于实数连续性的基本定理

以上的定理表述如下：

实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都 唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。

确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列{xn}单调上升有上界，则{xn}必有极限。 区间套定理:设｛[an,

bn]｝是一个区间套,则必存在唯一的实数

r,使得r包含在所有的区间里,即

r [an,bn]。

n 1

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列{xn}有极限存在的充分必要条件是：

0, N,当n N,m N时，有|xn xm| 。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明

一．用实数基本定理证明其它定理

1．实数基本定理→单调有界定理

证明：设数列{xn}单调上升有上界。令B是数列{xn}全体上界组成的

实数完备性基本定理的内在关系

实数完备性基本定理的内在关系

摘要：实数集的一个基本特征是实数集的完备性，它是微积分学的坚实的理论

基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，在本文中就给出了六个实数集完备性基本定理.柯西收敛准则、确界原理、有限覆盖定理、区间套定理、单调有界定理、致密性定理以不同的方式从不同的侧面反映了实数集的一种特性——完备性.本文采用不同的角度来说明它们的等价性和侧重点，又用几个定理分别证明了一个命题，让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.

关键词：实数；完备性；基本定理；等价性

1

实数完备性基本定理的内在关系

一．预备知识：

实数理论是数学分析的理论基础, 而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一.本论文将在此基础上讨论有关实数完备性的基本定理的内在关系。

有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4,

密 级 公 开

本科生毕业（学位）论文

有关实数完备性基本定理的循环证明

指导教师姓名： 职 称： 副教授 单 位： 数学系

专 业 名 称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2010年 月 日 论文答辩日期： 2010年 月 日 学位授予单位： 黔南民族师范学院

答辩委员会主席: 论 文 评 阅 人:

2010 年 月

日

有关实数完备性基本定理的循环证明

蒋长征 (2006051135)

(黔南民族师范学院数学系 贵州.都匀 558000)

摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六

个循环从不同的角度证明了它们的等价性。

关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；Cauchy收

敛准则

The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number

Completeness

Jiang Chang-zheng (2006051135)

(Department of Math ,Qiannan Normal College f

非连续本

一、阅读下面的文本，完成1—4题。（11分）

运动——无价良药

【健康调查】

材料一：随着经济条件的改善和生活方式的改变，有越来越多的人患上了过去只有王公贵族才易得的痛风、糖尿病等富贵病。据英国糖尿病协会报告，1935年全球有20亿人口，糖尿病患者有1500多万，而现在人口增加了2.5倍，但糖尿病患者却足足增加了10多倍。

材料二：一个名为“运动就是良药”的研究项目发现，如果人们进行适量的运动，达到世界卫生组织推荐的标准，可以预防50%的乳腺癌以及60%的大肠癌。越来越多的研究证实，我们自己才是身体最好的医生，运动这剂无价良药我们随时可以服用。但是，现状并不乐观。目前，全球每年有近500万人死于运动缺乏，这一数据还在逐年增加。

材料三：美国一项基于54000人的死亡风险因素调查

静态生活方式图2

肥胖吸烟高胆固醇 男性女性

糖尿病05101520可能导致的死亡率(%)

【健康咨询】

某社区医生一天的健康咨询记录：

1．方××，男，13岁，初一学生；身高1.60米，体重163斤，食欲旺盛，走路易气喘，时常提不起精神。

诊断：过度饮食、缺乏运动导致的肥胖。

建议：适当控制饮食，每天坚持有一定强度的运动，如跑步、打球、骑自行

非连续本

一、阅读下面的文本，完成1—4题。（11分）

运动——无价良药

【健康调查】

材料一：随着经济条件的改善和生活方式的改变，有越来越多的人患上了过去只有王公贵族才易得的痛风、糖尿病等富贵病。据英国糖尿病协会报告，1935年全球有20亿人口，糖尿病患者有1500多万，而现在人口增加了2.5倍，但糖尿病患者却足足增加了10多倍。

材料二：一个名为“运动就是良药”的研究项目发现，如果人们进行适量的运动，达到世界卫生组织推荐的标准，可以预防50%的乳腺癌以及60%的大肠癌。越来越多的研究证实，我们自己才是身体最好的医生，运动这剂无价良药我们随时可以服用。但是，现状并不乐观。目前，全球每年有近500万人死于运动缺乏，这一数据还在逐年增加。

材料三：美国一项基于54000人的死亡风险因素调查

静态生活方式图2

肥胖吸烟高胆固醇 男性女性

糖尿病05101520可能导致的死亡率(%)

【健康咨询】

某社区医生一天的健康咨询记录：

1．方××，男，13岁，初一学生；身高1.60米，体重163斤，食欲旺盛，走路易气喘，时常提不起精神。

诊断：过度饮食、缺乏运动导致的肥胖。

建议：适当控制饮食，每天坚持有一定强度的运动，如跑步、打球、骑自行

非连续本

一、阅读下面的文本，完成1—4题。（11分）

运动——无价良药

【健康调查】

材料一：随着经济条件的改善和生活方式的改变，有越来越多的人患上了过去只有王公贵族才易得的痛风、糖尿病等富贵病。据英国糖尿病协会报告，1935年全球有20亿人口，糖尿病患者有1500多万，而现在人口增加了2.5倍，但糖尿病患者却足足增加了10多倍。

材料二：一个名为“运动就是良药”的研究项目发现，如果人们进行适量的运动，达到世界卫生组织推荐的标准，可以预防50%的乳腺癌以及60%的大肠癌。越来越多的研究证实，我们自己才是身体最好的医生，运动这剂无价良药我们随时可以服用。但是，现状并不乐观。目前，全球每年有近500万人死于运动缺乏，这一数据还在逐年增加。

材料三：美国一项基于54000人的死亡风险因素调查

静态生活方式图2

肥胖吸烟高胆固醇 男性女性

糖尿病05101520可能导致的死亡率(%)

【健康咨询】

某社区医生一天的健康咨询记录：

1．方××，男，13岁，初一学生；身高1.60米，体重163斤，食欲旺盛，走路易气喘，时常提不起精神。

诊断：过度饮食、缺乏运动导致的肥胖。

建议：适当控制饮食，每天坚持有一定强度的运动，如跑步、打球、骑自行

XXX商业银行XX支行 业务连续性应急预案

为保证商行迅速有效地处臵因信息系统服务异常导致的商行运营中断事件，最大程度地降低或消除因运营中断事件对社会造成的危害和损失，使我行突发性运营中断事件应急处臵工作的实施步骤更具体、明确、便于操作，参照《XX市商业银行业务连续性应急预案》，结合我行实际，制定本方案。

一、机构、负责人

设立XX市商业银行XX支行业务连续性应急处臵领导小组，指挥决策XX支行范围内突发性运营中断事件。

XX支行突发运营中断事件应急工作领导小组组成： 组长：XX 副组长：XX 成员：XX

二、领导小组职责：

及时向市行突发运营中断事件应急工作领导小组汇报辖内运营中断事件及事件级别。

1、研究决策辖内运营中断事件的应急处臵。 2、统一指挥辖内运营中断事件的应急处臵。 3、收集、整理有关情况并及时上报。

4、按照市行领导小组的要求组织召集会议。 5、收集、保管关于事后移交有关档案。 6、组织做好政策的宣传和解释工作。 三、应急处臵程序

对辖内营业网点发生的突发运营中断事件，支行领导小组应及时汇总上报市行领导小组。

1、信息报告

特别重大或重大突发事件发生后，要在5-10分钟内，相关执行、保障部门要立即报告至管理部门，同时上报至主管