主成分分析法的带约束优化问题

统计与数学模型分析实验中心 《 MATLAB数据分析方法》实验报告

(4)排名的结果是否合理？为什么？ 程序： clc,clear A=load('shiyan4_1.txt'); [m,n]=size(A); %根据指标的属性将原始数据统一趋势化,其中资产负债率为成本型，转换成，效益型。 A1=(A(:,1)-min(A(:,1)))./(max(A(:,1))-min(A(:,1))); A2=(A(:,2)-min(A(:,2)))./(max(A(:,2))-min(A(:,2))); A3=(max(A(:,3))-A(:,3))./(max(A(:,3))-min(A(:,3))); A4=(A(:,4)-min(A(:,4)))./(max(A(:,4))-min(A(:,4))); A5=(A(:,5)-min(A(:,5)))./(max(A(:,5))-min(A(:,5))); A6=(A(:,6)-min(A(:,6)))./(max(A(:,6))-min(A(:,6))); A=[A1,A2,A3,A4,A5,A6]; %利用相关系数矩阵进行主成分分析 R=corrcoef(A); %在指标中无明显的共线关系 [v,

统计与数学模型分析实验中心 《 MATLAB数据分析方法》实验报告

(4)排名的结果是否合理？为什么？ 程序： clc,clear A=load('shiyan4_1.txt'); [m,n]=size(A); %根据指标的属性将原始数据统一趋势化,其中资产负债率为成本型，转换成，效益型。 A1=(A(:,1)-min(A(:,1)))./(max(A(:,1))-min(A(:,1))); A2=(A(:,2)-min(A(:,2)))./(max(A(:,2))-min(A(:,2))); A3=(max(A(:,3))-A(:,3))./(max(A(:,3))-min(A(:,3))); A4=(A(:,4)-min(A(:,4)))./(max(A(:,4))-min(A(:,4))); A5=(A(:,5)-min(A(:,5)))./(max(A(:,5))-min(A(:,5))); A6=(A(:,6)-min(A(:,6)))./(max(A(:,6))-min(A(:,6))); A=[A1,A2,A3,A4,A5,A6]; %利用相关系数矩阵进行主成分分析 R=corrcoef(A); %在指标中无明显的共线关系 [v,

　西安理工大学学报JournalofXi’anUniversityofTechnology(2005)Vol.21No.4　　　文章编号:100624710(2005)0420437204

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主成分分析法与层次分析法排序公式的研究

王秋萍1,张道宏1,李　萍2

(1.西安理工大学理学院,管理学院,陕西西安710048;2.西安财经学院,陕西西安710061)

摘要:介绍了代数学中的一个重要定理(Perron2Frobenius定理),论述了第一主成分作为系统

评估指数的原理和条件;对两类系统排序评估方法,即主成分分析法(PCA)与层次分析法(AHP)的排序公式进行了分析、比较,指出了PCA与AHP内在的、本质的联系及其适用情况,为正确选择使用PCA与AHP评价方法提供了指导。

关键词:Perron2Frobenius定理;第一主成分;;PCA中图分类号:O212,C931.1　　　文献标识码:AStudyofRofAnalysisandAHP

21,ZHANGDao2hong1,LIPing2

(1.Facultyof,FacultyofBusinessAdministration,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710

利用Matlab编程实现主成分分析

1.概述

Matlab语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是

最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

1.1主成分分析计算步骤

① 计算相关系数矩阵

r11

r21

R

rp1

r12r22 rp2

r1p

r2p

rpp （1）

在（3.5.3）式中，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数，其计算公式为

rij

(x

k 1

n

ki

i)(xkj j)

2

(x

k 1

n

ki

i)

(x

k 1

n

kj

j)2

（2）

因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

② 计算特征值与特征向量

首先解特征方程 I R 0，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值

i(i 1,2, ,p)，并使其按大小

一、主成分分析基本原理

概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。

原理：假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的数据矩阵，

?x11?x21X???????xn1x12?x1p?x22?x2p??????xn2?xnp??记原变量指标为x1，x2，?，xp，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z1，z2，z3，? ，zm(m≤p)，则

系数lij的确定原则：

①zi与zj（i≠j；i，j=1，2，?，m）相互无关；

②z1是x1，x2，?，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，?，xP的所有线性组合中方差最大者； zm是与z1，z2，??，zm－1都不相关的x1，x2，?xP ， 的所有线性组合中方差最大者。

新变量指标z1，z2，?，zm分别称为原变量指标x1，x2

水污染防治ＷａｔｅｒＰｏｌｌｕｔｉｏｎＣｏｎｔｒｏｌ３９主成分分析法优化治理黑臭水体的碳素纤维铺设密度。吴慧玲１胡湛波１辛丽平２柴欣生２梁益聪１（１．广西大学环境学院，南宁５３０００４；２．华南理工大学制浆造纸工程国家重点实验室，广州５１０６４０）摘要：在治理黑臭水体的碳素纤维铺设密度优化研究中，借助统计学软件（ＳＩＭＣＡ．Ｐ），以４个指标（ＣＯＤ、ＴＰ、ＮＨ、一Ｎ、ＴＮ）作为分析变量，探讨了单指标优化法与主成分分析法分析样本数据的差别。结果表明：单指标优化法可以确定４个指标各自的最优铺设密度，而主成分分析法能综合４个指标的信息进行分析，并优选出碳素纤维的最优铺设密度为４０ｃｍ２／Ｌ，为碳素纤维的综合运用提供参考依据。关键词：主成分分析法；黑臭水体；碳素纤维；铺设密度；ＳＩＭＣＡ．ＰＤＯＩ：１０．１３２０５／ｉ．ｈｉｇｃ．２０１５０６００９ＰＲＩＮＣＩＰＡＬＣｏＭＰｏＮＥＮＴＡＮＡＬＹＳＩＳＦＯＲＯＰＴＩｎＩＺＡＴＩＯＮＯＦＴＨＥＣＡＲＢＯＮＦＩＢＥＲＬＡＹＩＮＧＤＥＮＳＩＴＹＩＮＲＥＭＥＤＩＡＴｌ０ＮｏＦＢＬＡＣＫ．ｏＤｏＲｏＵＳＷＡＴＥＲＷｕＨｕｉｌｉｎ９１ＨｕＺｈａｎｂ０１ＸｉｎＬｉｐｉｎ９２ＣｈａｉＸｉｎｓｈｅｎ９２ＬｉａｎｇＹｉｃｏ

一、概述

在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：

?主成分个数远远少于原有变量的个数

原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

?主成分能够反映原有变量的绝大部分信息

因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大

一、概述

在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。

为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。

主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：

?主成分个数远远少于原有变量的个数

原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。

?主成分能够反映原有变量的绝大部分信息

因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大

数学建模中主成分分析法的应用

第24卷第1期2009年1月

乐山师范学院学报

JournalofLeshanTeachersCollege

Vol．24,No．1Jan．2009

主成分分析法在学生成绩评价中的应用

马燕

（伊犁师范学院生命资源环境系，新疆奎屯833200）

摘要：本文运用主成分分析法，分析了伊犁师范学院奎屯校区06汉旅游管理班06-07学年的考试成绩，并根据综合得分给出了科学的排名，对学生在学科中的优势与劣势进行了说明，客观地反映了学生在学科成绩方面的特征。

关键词：主成分分析法；综合排名；学生成绩中图分类号：TP3

文献标识码：A

文章编号：1009-8666（2009）01-0131-03

通常情况下，学校在评价学生成绩时，主要采

用的是多门课程总平均分排名的方法。这种方法对于学生的成绩评价过于笼统，看不出学生在各学科间的优势与劣势。为了解决传统评价方法中的缺陷，本文认为可以使用主成分分析法来对学生成绩进行科学的评价和学科间具体的优势、劣势的度量。通过设定公共因子可以解决传统方法中课程门数过多的弊端，其能清晰地揭示影响学生成绩的主要原因，对促进学生能力不断发展具有重要意义[1]。

设有个n个样本，每个样本有m个数据，记x11…x1m

（x1，x2，…

引言：

主成分分析也称主分量分析，是由霍特林于1933年首先提出的。主成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时使得问题得到简化，提高分析效率。本文用主成分分析的方法对某市14家企业的经济效益进行分析。[1]

在处理涉及多个指标问题的时候，为了提高分析的效率可以不直接对p个指标构成的p维随机向量x=(x1，x2，x3，……，xp)进行分析，而是先对向量x进行线性变换，形成少数几个新的综合变量，使得个综合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息，这样在意损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构，提高分析效率的目的。

主成分的基本思想就是在保留原始变量尽可能多的前提下达到降维的目的，从而简化问题的复杂性并抓住问题的主要矛盾。而这里对于随机变量x1，x2，

x3，……，xp而言，其协方差矩阵或相关矩阵正是对各变量