二元一次不等式线性规划

二元一次不等式组与简单的线性规划复习

一、知识归纳:

1．二元一次不等式表示的平面区域：

二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示直线Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.

对于在直线Ax?By?C?0同一侧的所有点(x,y)，实数Ax?By?C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0)，从

Ax0?By0?C的正负即可判断

Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）2．线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。 3．线性规划问题应用题的求解步骤：

（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）

（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数z?mx?ny的最大（小）时，直线mx?ny?0往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。 二、学习

高中数学全册各章节的高三年级第一轮复习学案,可以直接打印用于每节的课堂上。(word版)

§6.3 二元一次不等式组与简单的线性规划

【复习目标】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.； 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

【基础练习】

1．不等式3x ay 6 0(a 0)表示的平面区域是在直线3x ay 6 0（ ）的集合。 A．左上方

B．右上方

C．左下方

D．右下方

x 4y 3 0

2．目标函数z 2x y，变量x,y满足 3x 5y 25，则有（ ）

x 1

A．zmax 12,zmin 3 C．zmin 3,z无最大值

B．zmax 12,z无最小值 D．z既无最大值，也无最小值

3．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，2个茶杯和3包茶叶的价格比较（ ）

A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵 C．二者相同 D．无法确定 y 0

4．在直角坐标系中，不等式组 y x表示一个三角形区域，则实数k的范围是_ ___。

y

专题七 不等式

第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

答案部分

2019年

1.解析 由约束条件23603020x y x y y +-+--?????

，，，作出可行域如图：

化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．

2.解析 作出约束条件表示的可行域，如图所示.

y x 4x-3y+1≥0

2-1A

B

O

令z y x =-，则y x z =+，当此直线经过可行域内的点B 时，z y x =-取最小值；当此直线经过可行域内的点A 时，z y x =-取最大值.

由24310x x y =??-+=?，得()2,3A ，由12y x =-??=?

，得()2,1B -，所以()min 123y x -=--=-；()max 321y x -=-=.

3.解析由约束条件

20

20

1

1

x y

x

y

x

y

+-

?

?-+

?

?

-

?

?-

?

作出可行域如图：

化目标函数4

z x y

=-+为4

y x z

=+，由图可知，当直线4

y x z

=+过A时，z有最大值. 联立

1

20

x

x y

=-

?

?

-+=

?

，解得()

1,1

A-. 所以z的最大值为()()

4115

-?-+=．

故选C．

4.

1 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域

教学目标:

1．知识与技能目标：

了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

2．过程与方法目标：

经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。

3．情感态度与价值观目标：

通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。

教学重点与难点:

重点：求二元一次不等式表示的平面区域。

难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。

教学方法与手段:

通过列表分析实例，引导学生从复杂实际问题中抽象出二元一次不等式（组）。引导学生用类比方法探索出解二元一次不等式的思路，借助多媒体，使学生认识到理解二元一次不等式解集的几何表示。

使用教材的构想:

1．3.3.1节分两课时完成，第一课时学习二元一次不等式解集几何表示。第二课时学习如何求二元一次不等式组的解集。这样安排是因为理解二元一次不等式（组）解集的几何表示是一个难点，而这一点直接关系到求二元一次不等式组的解集的学习以及后面线性规划问题的学习。

2．教材引入部分的实例已知条件较多，关系复杂，学生不易找出各已知条件的关系，为了克服这一难题，

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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

【考点梳理】

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有不包括边界直线 点组成的平面区域 包括边界直线 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2．线性规划中的相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 【考点突破】 考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )

意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

A． B． C． D．

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x＋y－2

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

材拓展

1．二元一次不等式(组)表示平面区域

(1)直角坐标平面内的一条直线Ax＋By＋C＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．

(2)若点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧(或异侧)，则Ax1＋By1

＋C与Ax2＋By2＋C同号(或异号)．

(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法

(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点．当C＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．

3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法

先证一个结论

已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C＝0 (B≠0)上，证明： (1)P在

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域

教学目标：

知识与技能

能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域. 过程与方法

1.通过对结论的探究与发散，培养学生的观察、联想以及作图的能力，渗透类比、归纳、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想；

2.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.

情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新. 教学重点： 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点： 对二元一次不等式所表示的平面区域的证明.

课型：新授课 教学方法：引导探究法 教学工具：多媒体设备 教学过程： 导入新课

上一节课我们学习了一元二次不等式的解法，是结合一元二次函数的图形来求解的，今天我们继续从形的角度来研究二元一次不等式。 推进新课 ［合作探究］

1、类比猜想

平江县第七中学 高二数学◆必修5◆导学案 编写：陈灿明 校审：陈锋望

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 学习目标 1．了解二元一次不等式的几何意义 2．会用二元一次不等式组表示平面区域 ○2设点p(x,y1)是直线l:x-y=6上的点，选取点使它的坐标满足不A(x,y2)，等式x-y<6，完成下表： 横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3

※ 学习重点、难点： 重点；用二元一次不等式（组）表示平面区域 难点：二元一次不等式组表示平面区域的画法 学习过程 一、知识链接 复习: 二、新课导学 ※ 探索新知 （预习教材p82~p84，找出疑惑之处） 探究1.一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设你是信贷员你应该如何分配资金呢？ 二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（

阜宁县第一高级中学高二复习教案（一）

不等式的解法及应用、线性规划

姓名 班级 学号

教学内容：

不等式解法及应用；线性规划

教学重点：

不等式解法及应用；线性规划

一. 基本知识回顾 1. 不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

同解不等式（1）f(x)?g(x)与f(x)?F(x)?g(x)?F(x)同解； （2）m?0，f(x)?g(x)与mf(x)?mg(x)同解，m?0，f(x)?g(x)与

mf(x)?mg(x)同解；

f(x)?0g(x)（3）与f(x)?g(x)?0(g(x)?0）同解；

2. 一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

?(1)a?0?ax?b?分?(2)a?0??(3)a?0情况分别解之。

3. 一元二次不等式

ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)?分a?0及a?0情况分别解

2之，还要注意??b?4ac三种情况，即??0或??0或??0

第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性

规划问题 一、填空题

x≥0，??

1．不等式组?x＋3y≥4，

??3x＋y≤4

所表示的平面区域的面积等于________．

?4?(0,4)，

解析 画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是?0，?，(1,1)，

?3?

1?4?4

所以三角形的面积S＝×?4－?×1＝.

2?3?3答案

4

3

x≥1，??

2．已知x，y满足?x＋y≤4，

??x＋by＋c≤0，

________．

记目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为

解析 由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7和直线x＋y＝4的交点，经过直线2x＋y＝1和直

??3＋b＋c＝0，

线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴?

?1－b＋c＝0，?

∴b＝－1，c＝－2. 答案 －1，－2

3．已知A(3，

?3x－y≤0，

3)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足?x－3y＋2≥0，

?y≥0，

→→

设Z为OA在OP上的投影，则

Z的取值范围是________．

→→→→→

解析 约束条件所表示的平面区域如图.OA在OP上的投影为|OA|cos θ＝23cos θ(θ为O