左孝陵离散数学3-12

经典的教程

代数系统

第六章

格和布尔代数

§1格的概念 §2分配格 §3有补格 §4*布尔代数

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§1格的概念1.偏序集合格《定义》格是一个偏序集合 L, ,其中每一对元素 a, b L 都拥有一个最小上界和最大下界。通常用a b 表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最小 GLB 上界。即： {a, b} a b

——称为元素a和b的保交运算， LUB{a, b} a b ——称为元素a和b的保联运算。

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§1格的概念例：以下均为偏序集合格(D为整除关系，Sn为n的因 子集合)。

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§1格的概念2.代数系统格 《定义》:设 L, 是一个格，如果在A上定义两个 二元运算 和 ,使得对于任意的a,b A,a b等 于a和b的最小上界，a b等于a和b的最大下界，那 么就称<L, , > 为由格 L, 所诱导的代数系统。

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§1格的概念3.格的主要性质： (1)格的对偶原理 设是格，“≤”的逆关系“≥”与L组成的偏序集 也是格。两者互为对偶。前者的G

1-1，1-2 （1） 解：

a) 是命题，真值为T。 b) 不是命题。

c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。

e) 是命题，真值为T。 f) 是命题，真值为T。 g) 是命题，真值为F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q

d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q

e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P?Q

1-1，1-2 （1） 解：

a) 是命题，真值为T。 b) 不是命题。

c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。

e) 是命题，真值为T。 f) 是命题，真值为T。 g) 是命题，真值为F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q

d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q

e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P?Q

1-1，1-2 （1） 解：

a) 是命题，真值为T。 b) 不是命题。

c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。

e) 是命题，真值为T。 f) 是命题，真值为T。 g) 是命题，真值为F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q

d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q

e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P?Q f

离散数学课后习题答案_(左孝凌版)

1-1，1-2 （1） 解：

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

是命题，真值为T。 不是命题。

是命题，真值要根据具体情况确定。 不是命题。 是命题，真值为T。 是命题，真值为T。 是命题，真值为F。 不是命题。 不是命题。

（2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) b) c) d)

(┓P ∧R)→Q Q→R ┓P P→┓Q

（4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) b) c) d) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q

离散数学课后习题答案_(左孝凌版)

e) f) (6) 解：

a) b) c) d

离散数学课后习题答案 (左孝凌版)

1-1，1-2 （1） 解：

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

是命题，真值为T。 不是命题。

是命题，真值要根据具体情况确定。 不是命题。 是命题，真值为T。 是命题，真值为T。 是命题，真值为F。 不是命题。 不是命题。

（2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) b) c) d)

(┓P ∧R)→Q Q→R ┓P P→┓Q

（4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) b) c) d) e) f) (6) 解：

a) b) c) d) e) f) g)

P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S A:刘英上山。B:李进上山。

1-1，1-2 （1） 解：

a) 是命题，真值为T。 b) 不是命题。

c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。

e) 是命题，真值为T。 f) 是命题，真值为T。 g) 是命题，真值为F。 h) 不是命题。 i) 不是命题。 （2） 解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：

a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （4） 解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：

a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q

d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q

e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P?Q

第十一章 群、环、域

11.1 半群

内容提要

11.1.1 半群及独异点

定义 11.1 称代数结构为半群（semigroups），如果 ? 运算满足结合律．当半群含有关于 ? 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．

定理11.1 设为一半群,那么

（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．

（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．

定理11.2 设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有

（1）同态象为一半群．

（2）当为独异点时，则为一独异点.

定理11.3 设为一半群,那麽

SS

（1）为一半群，这里S为S上所有一元函数的集合，○ 为函数的合成运算．

S

（2）存在S到S的半群同态．

11.1.2 自由独异点

定义 11.2 称独异点为自由独异点（free monoid）,如果有A?S使得 （1）e?A．

（2）对任意u?S，x?A,u?x ? e . 自由独异点（free monoid）,如果有A?S使得 （3）对任意u,v?S，x,y?A,若u?x = v?y,那么u = v,x = y．

（4） S由A

《离散数学》复习资料 2014年12月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )．

A． A?B，且A?B B．B?A，且A?B C．A?B，且A?B D．A?B，且A?B 2．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是 ( D )．

图一 A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的

C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的 3．设图G的邻接矩阵为

?01100??10011???

?10000???01001????01010??则G的边数为( B )．

A．6 B．5 C．4 D．3

4．无向简单图G是棵树，当且仅当( A )．

A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路． 5．下列公式 ( C

离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念

一、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化 （1）中国有四大发明。 （2）2是有理数。 （3）“请进！”

（4）刘红和魏新是同学。 （5）a+b

（6）你去图书馆吗？

（7）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） （9）火星上有生命。 （10）这朵玫瑰花多美丽啊！

二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2 （1）只要2<1，就有3<2。 （2）如果2<1，则3?2。 （3）只有2<1，才有3?2。 （4）除非2<1，才有3?2。 （5）除非2<1，否则3?2。 （6）2<1仅当3<2。 三、将下列命题符号化

(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。 (2)王栋生于1992年或1993年。

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离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) （2）（p?r）