拉氏变换求解微分方程

用拉氏变换法解线性微分方程

一 基本定义

若函数f(t)，t为实变量，线积分

∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在，

0∞

则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或￡[f(t)]，即F(s)=￡[f(t)]=∫ f(t)e-st dt

0

∞

常称：F(s)→f(t)的象函数；

f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路

用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算

三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数

f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0

F(s)=￡[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s

0∞

∞ 0

微分方程 拉氏变换 象函数 解代数方程 象原函数 （微分方程解） 拉氏反变换 象函数 代数方程 f(t) 1 0

t

2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t≥0

0 t<0

-st 2

F(s)=￡[f(t)]= ∫0 t edt =1/s

∞

f(t) t

3、等加速度函数

f(t) = 1/2 t2

目 录

引言 ............................................................... 1 1 拉普拉斯变换以及性质 ............................................. 1 1.1 拉普拉斯变换的定义 ....................................................... 1 1.2 拉普拉斯变换的性质 ....................................................... 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............................. 3 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............................. 4 3.1 初值问题与边值问题 ....................................................... 4 3.2 常系数与变系数常微分方程 ................................................ 5 3.

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

?

?目录

引言 ............................................... 错误!未定义书签。

1 拉普拉斯变换以及性质1?

1．１拉普拉斯变换的定义?错误!未定义书签。

1．2拉普拉斯变换的性质?错误!未定义书签。

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............ 错误!未定义书签。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............. 错误!未定义书签。３.1初值问题与边值问题?错误!未定义书签。

3.２常系数与变系数常微分方程 ............................. 错误!未定义书签。

3.3含 函数的常微分方程.................................... 错误!未定义书签。

3.4常微分方程组.............................................. 错误!未定义书签。３．5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 .....

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

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引言 ............................................... 错误!未定义书签。

1 拉普拉斯变换以及性质1?

1．１拉普拉斯变换的定义?错误!未定义书签。

1．2拉普拉斯变换的性质?错误!未定义书签。

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............ 错误!未定义书签。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............. 错误!未定义书签。３.1初值问题与边值问题?错误!未定义书签。

3.２常系数与变系数常微分方程 ............................. 错误!未定义书签。

3.3含 函数的常微分方程.................................... 错误!未定义书签。

3.4常微分方程组.............................................. 错误!未定义书签。３．5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 .....

目 录

引言................................................................ 1 1 拉普拉斯变换以及性质.............................................. 1 1.1 拉普拉斯变换的定义 .............................................. 1 1.2 拉普拉斯变换的性质 .............................................. 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.............................. 2 3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用............................ 3 3.1 初值问题与边值问题 .............................................. 3 3.2 常系数与变系数微分方程 .......................................... 4 3.3 含?函数的微分方程 .......................

《数学实验》报告

实验名称 常微分方程的求解 学 院 专业班级 姓 名 学 号

2013年5月

一、 【实验目的】

1. 学习在MATLAB中如何求解微分方程的方法；

2. 掌握基本的微分求解命令，学会结合学过的基础知识求解方程； 3. 熟练运用基本的解法即数值解法解微分方程； 4. 注意不同方法下求得微分方程的优缺点。

二、 【实验任务】

xsinxy?1. 求解微分方程为cosy。

''y2. 用数值方法求解下列微分方程，用不同颜色和线形将y和画在同一个

图形窗口里：

y?ty?y?1?2t初始时间：t0=0;终止时间：tf

三、 【实验程序】 1.

y=dsolve('Dy=x*sinx/cosy','x') 2.

定义的程序：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t);

主程序：

2

'''

=?;初始条件：y|t?0?0.1 y

发放

常系数非齐次线性微分方程一、

f (x) = e P (x) 型 m+P (x)sinωx]型 n

λx

二、 f (x) = eλ x[P(x)cosω x l

高等数学》 《高等数学》

土木103、104 、 土木

2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

二阶常系数非齐次线性微分方程 :

y′′ + py′ +qy = f (x)y =Y+y*

(p,q为常数 为常数) 为常数

①

根据解的结构定理 , 其通解为齐次方程通解 非齐次方程特解

求特解的方法

— 待定系数法的待定形式, 的待定形式

根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解

代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

设非齐次方程(2)的右端 定理 4 设非齐次方程 的右端 f (x)是几个函

( 数之和, 数之和 如 y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) + f2(x)分别是方程, 而 y 与 y 分别是方程* 1 * 2

y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) ( y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f2(x) (的特解, 就是原方程的特解.

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第三篇 第十章 常微分方程（组）求解

Matlab常微分方程（组）求解 一、 求微分方程的解

（一） 相关函数（命令）及简介

1， dsolve('equ1','equ2',…):Matlab求微分方程的解析解。

equ1,equ2,…为方程（或条件）。写方程（或条件）时用Dy表示y关于自变量的一阶导数，用D2y表示y关于自变量的二阶导数，依次类推。

2， simplify(s):对表达式s使用maple的化简规则进行化简。 例如： syms x

simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) ans=1

3,[r,how]=simple(s):由于Matlab提供了多种化简规则，simple命令就是对表达式s用各种规则进行化简，然后用r返回最简形式，how返回形成这种形式所用的规则。 例如： syms x

[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r=cos(2*x) how=combine

4,[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0),求微分方程的数值解。 （1）其中的solver为命令

ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1