数形结合在初中数学教学中的运用

初中数学中 “数形结合”的运用

一、以数助形

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．

例1．已知平面直角坐标系中任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)之间的距离可以用公式

AB?(x1?x2)2?(y1?y

数形结合在初中数学解题中的应用

摘要：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化. 关键词：数学，数，形，数形结合

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是知识转化为能力的桥梁，是解题过程中劈山开路、披荆斩棘的宝剑，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于知识的发生、发展和应用的过程中.

初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个

河北师范大学本科生毕业论文

本科生毕业论文设计

浅谈数形结合在中学教学中的应用

作者姓名: XXX 指导教师: XXX

所在学院: 数学与信息科学学院 专业(系): 数学与应用数学 班级(届): 2010届数学B班

二〇一四年 月 日

河北师范大学本科生毕业论文

目录

中文摘要、关键词 ··················· 错误！未定义书签。 绪言 ·································· 2 1数形结合思想 ····························· 2 1.1数形结合思想的概述 ························ 2 1.2数形结合思想的发展 ························ 3 2数形结合思想在高中教学中的应用 ···················· 4 2.1数形结合的思想在集合问题中的应用 ················· 4 2.2数形结合的思想在不等式问题中的应用 ················ 5 2.3数形结合思想在有关方程和函数的问题中的应用 ············ 6 2.4数形结合在数列问题中的应用

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浅谈数形结合在中学教学中的应用

作者姓名: XXX 指导教师: XXX

所在学院: 数学与信息科学学院 专业(系): 数学与应用数学 班级(届): 2010届数学B班

二〇一四年 月 日

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目录

中文摘要、关键词 ··················· 错误！未定义书签。 绪言 ·································· 2 1数形结合思想 ····························· 2 1.1数形结合思想的概述 ························ 2 1.2数形结合思想的发展 ························ 3 2数形结合思想在高中教学中的应用 ···················· 4 2.1数形结合的思想在集合问题中的应用 ················· 4 2.2数形结合的思想在不等式问题中的应用 ················ 5 2.3数形结合思想在有关方程和函数的问题中的应用 ············ 6 2.4数形结合在数列问题中的应用

浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用

摘要：本文主要介绍数学思想方法，及其在初中数学教学中的应用。

关键词：数形结合思想；数量关系；图形关系。

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。 数形结合思想在数学几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳岸花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。著名的数学家华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。切

数形结合思想在初中数学教学中的应用

摘要：数形结合思想是中学数学教学中重要的思想方法之一。加强数形结合思想在初中数学教学中的应用，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学教学质量的提高。

关键词：数形结合 数学 教学

数形结合思想是中学数学教学中重要的思想方法之一。加强数形结合思想在初中数学教学中的应用，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学教学质量的提高。笔者结合自身的教学实践就“数形结合思想在初中数学教学中的应用”这一课题谈谈自己的想法：

一、数形结合思想的意义

数形结合是数学教学中十分重要的思想方法。教学中重视数形结合的运用，能有效提高学生的学习兴趣、数学思维水平和形象思维能力，“数形结合思想就是从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（即以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（即以数助形）的一种数学思想”。数形结合的实质就是“将新知识与学习者的原有的认知结构产生本质的、非人为的联系，其基本途径是将较难问题转化为较易问题，将未知问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题”。也就是将抽象的语言和直观的图形（几

“数形结合”思想在小学数学中的运用

数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象表象之间的转化，发挥学生的思维。

数学家张广厚曾说：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度的抽象思维能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观地表示出来，如通过作线段图、树形图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，培养学生“在抽象中看出直观”的意识和能力，增强学生解决问题的能力。

一、运用“数形结合”思想开展概念数学

学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。数学概念的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意，而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为

数形结合在中学数学解题中的应用

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北 黄石 435002）

1.引言

数形结合思想方法是数学知识的本质之一、基础之一，也是重点之一，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法简便。

在国内，我国数学方法论的倡导者、数学家徐利治陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论宣讲》等论著，并提出了很多创新性的观点，在数学界中引起了强烈的共鸣；在国外，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》，系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、重要数学思想与若干有效的数学方法。纵观国内外数学思想方法方面研究的现状，可以看出，虽然很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过很深层次的探讨，且有了较为明显的成效，但在新课程改革不断发展的今天，这方面的研究工作还有待于

数形结合在中学数学解题中的应用

沭阳县华冲中学 223600 闫 安

【摘 要】本文给出了数形结合在中学数学解题中的应用，具体包括在方程、不等式、函数、解析几何、向量等问题中的应用. 通过上述问题的探讨与研究，得出在一定条件下利用数形结合解题能起到事半功倍的效果.

【关键词】数形结合 方程 不等式 函数 解析几何 向量

一、前言

恩格斯说“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.[1] 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系在人的意识中的反映，经过思维活动而产生的结果，它是对数学知识与数学理论的本质认识.

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这类思想可以称之为基本数学思想.数形结合思想就是其中的一类重要形式.下面对数形结合思想在数学解题中的应用谈谈一些自己的看法. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.这样可使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的.数形结合有两种基本形式，一是“数”的问题转化为“形”的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点.数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程

数形结合思想在解题中的应用

摘 要

数形结合思想简而言之就是把数学中的“数”与数学中的“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想.数形结合具体地说就是将抽象语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.

数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法,是数学学习普遍适用的方法,把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.应用“数形结合”的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率.本文在概述数形结合思想的基础上,分析了数形结合思想在中学数学解题中的应用,主要体现在数轴问题、不等式问题、最值问题、方程根的存在性问题、求极值问题和线性规划问题等,并针对解决不同类型的题目给出详细的例题分析,然后给出了在培养学生在利用数形结合时需要注意的几个问题,最后,通过调查研究数形结合的教学现状得出结论和教学启示,以提高学生运用数形结合思想解题的能力.

关键词：以形助数;以数解形;数形结合;应用

The combination of number and shape in the problem