函数在孤立奇点的留数

留数的课件

解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志； 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类: 孤立奇点及其分类: 1.定义 若f(z)在z0不解析 但在 0的某一去心邻域 定义 在 不解析, 但在z 0<|z z0|<δ 内解析 则称 0为f(z)的孤立奇点 内解析, 则称z 的孤立奇点. 由定义可知， 由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味 的孤立奇点， 着在z 的某个领域里只有z 一个奇点。 着在 0的某个领域里只有 0一个奇点。 并非所有的奇点都孤立，例如： 并非所有的奇点都孤立，例如：f (z) = 1 1 sin z

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2. 分类 由Laurent级数中负幂项的个数来分类 Laurent级数中负幂项的个数来分类 级数中负幂项的个数 的孤立奇点, 设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|z z0|<δ 内 的孤立奇点 在 cn (z z0 )n . 解析， 解析， Laurent展式为 n∑ 展式为 = ∞∞

1).若无负幂项, 则称 0为f(z)的可去奇

3 孤立奇点类型的应用

孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算，不同孤立奇点处的留数计算方法不同，所以我们必须正确判断孤立奇点的类型，我们通常遇到的是极点处的留数计算． 3.1 留数的定义

定义6：设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C?1称为f(z)在z0处的留数．记作

Res[f(z),z0]，

即

Res[f(z),z0]=C?1．

显然，留数C?1就是积分绕z0的闭曲线．

从留数的定义可以看到，如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),z0]?0．如果

1f(z)dz的值，其中C为解析函数f(z)的z0的去心邻域内2?i?Cz0是本质奇点，那就往往只能用把f(z)在z0展开成洛朗级数的方法来求C?1．若z0是极

点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数． 3.2 函数在极点处的留数

在求极点处的留数时，为了避免每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式，所以，给出下面的几个定理来求n阶极点处留数的公式． 3.2.1 简单法则

法则1：设a为f?z?的n阶极点，

f?z??其中，??z?在a点解析，??a??0，则

??z??z?a?lim??z?a

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华东理工大学《复变函数与积分变换》 华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案East china university of science and technology

第五章 留数及其应用 孤立奇点的概念 留数的定义、计算、留数定理 留数的定义、计算、 留数定理的应用(积分计算) 留数定理的应用(积分计算)

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5.1 孤立奇点的分类1、孤立奇点的定义 、若 f ( z )在 z 0 点不解析 (即奇点 ) 但在 z 0 的某个邻域内解析 ，

的孤立奇点。 则称 z 0 为 f ( z )的孤立奇点。例：1 sin z z = 0是 的孤立奇点。 、 e z 的孤立奇点。 z

1 f (z) = 有两个孤立奇点 z = i , z = 1 ( z i )( z + 1)

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留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <?<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ?=<<?为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =． 1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C f z dz =?．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?． （1） 证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使

篇一：中国人移民美国的生活自白：孤立无援

中国人移民美国的生活自白：孤立无援

点评：在国内移民家长沾沾自喜，总好像高人一等，其实到了国外才知道并非如此，语言文化的隔阂总觉得好像难以跨越的鸿沟。也许这种感觉需要二三代人才能弥合或者说适应国外的生活，就像美国驻中国大使骆家辉一样。已经完全成为美国人。因为作为移民，他们的血液里还是中国文化，如果完全变成外国文化一定需要时间。

2012年10月24日

15:04和讯网

南桥撰文：斯坦福大学博士王庆根学业和事业都很成功，却因抑郁症自杀，留下儿女。他的经历和我惊人相似，美国生存的压力究竟有多大？移民(微博)后为什么还会抑郁？ 南大校友王庆根，原为奥赛金牌得主，斯坦福大学化学博士，Paypal的首席工程师，可以说学业和事业都很成功，却因抑郁症自杀，留下一双儿女。

王博士的经历和我惊人地相似，我自己还苟活着，但同病相怜，觉得我们这些在美国生活得时间比较久的人，有必要多说说自己实际的生活状况，让其余的人做选择的时候，起码多一些参考。

我不知王博士的离世究竟是什么原因，但不妨借题发挥，顺着“压力”这个话题，说说在美国生存的压力。

海外生活孤立无助

国内报道，多强调王走上绝路，是因工作压力太大。表面上看这似是最合理的解释，但未必有

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§5.1 孤立奇点1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 5.

∞ 为孤立奇点的定义和分类

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1. 定义定义 若 f ( z )在 z 0 处不解析 , 但在 z 0的某个去心邻域 0 < z z 0 < R 内解析 , 则称 z 0为 f ( z )的孤立奇点 .~~~~~~~~~

例如 f ( z ) = e

1 z

----z=0为孤立奇点 为孤立奇点 ----z=1,2为孤立奇点 为孤立奇点

1 f ( z) = ( z 1)( z 2) 2f (z) = 1 1 sin z

----z=0及z=1/nπ (n = ±1 , ±2 ,…)都是它的奇点 及 都是它的奇点 都是它的

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1 但 ∵ lim = 0, ∴ 在 z = 0 不论多么小的去心 n→ ∞ nπ y 的奇点存在， 邻域内 , 总有 f ( z )的奇点存在，

1 sin z 的孤立奇点。 的孤立奇点。这说明奇点未 必是孤立的。 必是孤立的。

故z = 0不是

1

o

x

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如：0 不是 ln z的孤立奇点 , 只是奇点。 注：显然，若f(z)仅有有限个奇点，则必均为 孤立奇点。 分

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

2012-2-1

复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

2012-2-1

复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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复变函数

第一节一、奇点的分类

复变函数测验题

第五章 留 数

一、选择题： 1．函数

cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )

（A）可去奇点 （B）本性奇点

（C）m级极点 （D）小于m级的极点 3．设z?0为函数

1?e的m级极点，那么m?( ) 4zsinzx2（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点

3?2z?z35．z??是函数的( )

z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??an

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参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

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复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

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第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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第一节一、奇点的分类

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在课文“留白处”等待精彩

作者：孙玲莉

来源：《课程教育研究·上》2012年第11期

【摘要】留白，是中国画中所独有的重要表现手法之一，即在整幅画中留下空白，给人以想象的余地。它通过欣赏者的审美联想和想象，留下视觉延伸的空间，丰富画面的意境，提升画面的美感。课文中的“留白”是指文本中某些内容有意不写，或写得简略，叙述描写留有发挥余地的地方，以达到一种此时无声胜有声的效果。如果我们能发掘出那些留白之处，以用作阅读教学的材料，对学生的口头语言表达能力及写作能力的培养都会大有裨益。 【关键词】“留白” 发散思维 表达

【中图分类号】G623.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0050-01 新课标指出语文课堂教学应该注重人文性与工具性的有机整合，强调课文教学应该体现发展性与艺术性的和谐统一。语文教学中，流淌着的是执教者创作的智慧，学习者交流的灵性，参与者共享的快乐。课文“留白”强调的正是学生的自由发展，体现的正是课堂教学的艺术性。它改变了课堂教学的单一节奏，填补了对话间隙留下的真空地带。在引