高中数学平面向量知识点总结大全

高中数学必修4之平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终

点的大写字母表示，如：AB AB，a；坐标表示法a xi yj (x,y) 向

量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

0与任意向量平行零向量a＝0 ｜②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，

a｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的

问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a0为单位向量 ｜a0｜＝

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

线上a∥b(即自

由向量)

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：a b大

小相等，方向相同(x1,y1) (x2,y2)

x1 x2

y1 y2

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设AB a

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

?????1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。

?????2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。 ??3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|?1。

??4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

????????7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB??BA。

8.三角形法则：

????????????????????????????????????????????AB?BC?AC；AB?BC?CD?DE?AE；AB?AC?CB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

??????以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a?b，a?b。

????????10.共线定理：a??b?a//b。当??0时，a与b同向；当??0时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

????2???2?22212.向量的模：若a?(x,y)，则|a|?x?y，a?|a|，|a?b|?(a?b

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

第五章 平面向量 第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程：

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 A B 二、 提出课题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1?数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： a B 1?几何表示法：点—射线 （终点） 有向线段——具有一定方向的线段 A(起点) 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）

2?字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）

3． 模的概念

平面向量

【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】

1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或 a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

3. 单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e| 1。

4.零向量：长度为 0 的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA。

8.三角形法则：

AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数）

9. 平行四边形法则：

以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ， a b 。

10. 共线定理：a b a / /b 。当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a (x, y) ，则| a | x2 y 2

2

| a |2， | a b | ( a b)2 ， a

13. 数量积与夹角公式： a b | a | | b | cos ；cos

a b | a

高中数学知识点《平面向量》《线段的定比分点》精选练习

试题【58】(含答案考点及解析)

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

1.已知向量，，若与垂直，则实数 ( )

A．B．C．D．

【答案】A

【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的应用》平面向量的几何应用

【解析】

试题分析：由题意，因为与垂直，则，解得.

考点：平面向量垂直的充要条件.

2.已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是（）A．B．C．D．

【答案】C

【考点】高中数学知识点》平面向量》数量积及其应用

【解析】

试题分析：由题意，，，

，故，

，所以，故与的夹角是．

考点：向量的数量积．

3.设平面向量，，已知函数在上的最大值为6．（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，．求的值．

【答案】(I)3;(II)

【考点】高中数学知识点》平面向量》数量积及其应用》数量积的应用

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先利用平面向量的数量积计算公式，得到，

并化简为，根据角的范围，得到

利用已知条件得到，求得，此类题目具有一定的综合性，关键是熟练掌握三

角公式，难度不大.

（Ⅱ）本小题应注意角，以便于利用三角函数同角公式，确定正负号的选取.解题过程中，灵活变角

高中数学知识点总结

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1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质：

（3）德摩根定律：

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 如何求复合函数的定义域？

义域是___

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高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|ax?1? 若B?A，则实数a的值构成的集合为 （答：??1，0，?） 3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n； （2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律：

????1?3???CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x2?a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3?M，∴

a·3?5?0

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1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合A??x|x2?2x?3?0?，B??x|ax?1? 若B?A，则实数a的值构成的集合为 （答：???1，0，1??3??） 3. 注意下列性质： （1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的个数是2n； （2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律： CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB? 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式ax?5x2?a?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a 的取值范围。 （∵3?M，∴a·3?532?a?