高等数学尔雅课后题答案

高等数学上

1.1 高等数学学习谈 1

微积分是高等数学的重要组成，其理论是由（）和莱布尼兹完成的。 我的答案： 第一空： 牛顿 2

高等数学也称为微积分，它是几门课程的总称，具有高度的（ ）、严密的（ ）以及和广泛的（ ）。 我的答案： 第一空： 抽象性 第二空： 逻辑性 第三空： 应用性

1.2 微积分的基本思想和方法

1.2.1 经典问题——变速直线运动的瞬时速度问题 1

一物体做变速直线运动，它的位置函数是s=t2，t=2时该物体的瞬时速度为（ ）。

我的答案： 第一空： 4 2

一物体做变速直线运动，它的位置函数是s=2t^2-1，t=2时该物体的瞬时速度为（ ）。 我的答案： 第一空： 8

2 1.2.2 经典问题——变速直线运动的位移问题 1

物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里位移（ ），这种运动就叫做变速直线运动。简而言之，物体（ ）的直线运动称为变速直线运动。 正确答案： 第一空： 不等 第二空： 运动速度改变 2

一物体做变速直线运动，它的速度函数是v=2t，在[1,2]时间段内该物体的位移为（ ）。 正确答案： 第一空： 3

1.2.3 微积分的基本思想及构成 1

微积分是研究函数的（ ）、（ ）以及

北大版高等数学课后答案第七章

7.1

f(x,y)

:D

3.

.

D,g(x,y)D,g(x,y) f(x,y)g(x,y)D (x0,y0)f(x,y)g(x,y)dσ=f(x0,y0)g(x,y)dσ.

DD

. m,MfD ,.mg (x,y)≤f(x,y)g(x,y)≤Mg(x,y).

mg(x,y)dσ≤f(x,y)g(x,y)dσ≤Mg(x,y)dσ.DDD g(x,y)dσ=0,f(x,y)g(x,y)dσ=0,(x0,y0)∈D

D

.

m≤

D

D

g(x,y)dσ

D

4.

f(x,y)

D

,

f(x,y)=0,.P

(x,y)∈Dff

.

网

f,

1

,

f

P∈D

课

ww

w.

khd

2

aw

=

π

后

答

案

.co

,

f(x,y)g(x,y)dσ=f(x0,y0)

,

D

g(x,y)dσ.

D

f(x,y)dxdy=0.0.

f

,

m

D

f(x,y)g(x,y)dσ

北大版高等数学课后答案第七章

10.

D

y2

√

1 x20

dyy2

√

3(1

x2)2=

32

3.

12.I=

2)

D

(x+y)dxdy,xdxdy+

3

D

x2+y2=1,x2+y2=2y

√2

.

=

Dπ

D

00

1 x20

(x2+y2)dy=

1+

14.

1 (x 1)2

aw

2

khd

(rcosθ)2rdr

课

后

x2dxdy

复旦大学出版社 黄立宏主编的 高等数学(第三版)下册 课后习题答案 第七章

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s(2) (3)

s

s

s (4)

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y

第一章 函数 极限 连续

问题1. 上岸点的问题

有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1）

y B P Rx?y?R内游泳，当他位于点（?,0）时，听到紧急集 M 2222?O M?A x 合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为v1，陆地上跑步的速度为v2，求赶回营房 所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。

图1-1

解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据本题特点可设

M?(Rcos?,Rsin?)

其中?为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系t?f(?)的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数t?f(?)的定义域为0????。

该士兵在水中游泳所花的时间为

t1?PM1RR?(Rcos??)2?R2sin2??5?4cos? v1v122v1而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：

① 当0????3时，有t2?M?AR?5?4cos?； v2v2② 当

?3????时，要先跑一段圆弧MB，再跑一段且线段BA，所以

t2?1R?(MB?BA)?(

习题十

??1. 根据二重积分性质，比较

（2）D表示矩形区域

Dln(x?y)d???[ln(x?y)]d?的大小，其中：

与

D2（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；

{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.

解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有

图10-1

1?x?y?2

从而

0?lnx(?y?)

1故有

ln(x?y)?[lnx(?y2 )]D??所以

ln(x?y)?d???D[lxn?(y2?)]d

（2）区域D如图10-2所示.显然，当

(x,y)?D时，有x?y?3.

图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有

ln(x?y)?[lnx(?y2 )]D??所以

（1）（2）（3）

ln(x?y)?d???D[lxn?(y2?)]d

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：

I???D4?xyd?,D?{(x,y)|0?x?2,0?y?2};

;

I???sin2xsin2yd?,D?{(x,y)|0?x?π,0?y?π}DI???(x2?4y2?9)d?,D?{(x,y)|x2?y2?4}D.

解：（1）因为当

(x,y)?D时，有0?x?2,

习题十

??1. 根据二重积分性质，比较

（2）D表示矩形区域

Dln(x?y)d???[ln(x?y)]d?的大小，其中：

与

D2（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；

{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.

解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有

图10-1

1?x?y?2

从而

0?lnx(?y?)

1故有

ln(x?y)?[lnx(?y2 )]D??所以

ln(x?y)?d???D[lxn?(y2?)]d

（2）区域D如图10-2所示.显然，当

(x,y)?D时，有x?y?3.

图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有

ln(x?y)?[lnx(?y2 )]D??所以

（1）（2）（3）

ln(x?y)?d???D[lxn?(y2?)]d

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：

I???D4?xyd?,D?{(x,y)|0?x?2,0?y?2};

;

I???sin2xsin2yd?,D?{(x,y)|0?x?π,0?y?π}DI???(x2?4y2?9)d?,D?{(x,y)|x2?y2?4}D.

解：（1）因为当

(x,y)?D时，有0?x?2,

《高等数学》第一批次作业

一、选择题

f?x?与lim?f?x?都存在是limf?x?存在的（ B ）. 1．lim?x?x0x?x0x?x0A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 2．若数列?xn?有界，则?xn?必（ C ）.

A. 收敛 B. 发散 C. 可能收敛可能发散 D. 收敛于零

x2?13．lim2?（ C ）.

x??1x?x?2A. 0 B. ?223 C. D.

323'4．若在区间?a,b?内，f?x?是单调增函数，则fA. ?0 B. ?0 C. ?0 D. ?0 5．xdy?ydx?0的通解是（ A ）. A. y?Cx B. y??x?（ A ）.

C C. y?Cex D. y?Clnx x6. 函数z?f?x,y?在?x0,y0?连续是f?x,y?在?x0,y0?可偏导的（ D ）. A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 以上说法都不对 7. 如果f'?x?存在，则xlim?x0f?x0??f?x??（ B

习题1. 3（A）（P43）提示（仅供参考）

1．设函数f?x?在点x0附近有定义，且lim?f?x0?h??f?x0?h???0，问f?x?是

h?0否必在x0连续？

1?cos?答：不一定！f?x???x??0x?0x?0在x0?0处满足条件而连续。

2若函数f?x?在?a,b?内的任何一个闭子区间?a??,b???上连续，证明f?x?在

?a,b?内连续。

?x?ab?x0?证明：对?x0??a,b?，记??min?0,?，取???，则

2??2x0??a??,b?????a??,b???

由f?x?在?a,b?内的任何一个闭子区间?a??,b???上连续可得f?x?在x0连续， 由x0任意性可得f?x?在?a,b?内连续。

3 证明若f?x?在x0连续，则f?x?在x0也连续，问反之是否成立？ 证明 由f?x?在x0连续有

x?x0limf?x??f?x0?

故

x?x0limf?x??f?x0?

即f?x?在x0也连续。

?1反之不成立，例y????1x?Q。 x?Q4 设f?0??g?0?，当x?0时，f?x??g?x?，试证f?x?与g?x?这两个函数中至多有一个在x?0处连续。

证明：若f?x?与g?x?这两个函数在x?0处都连续

9．设曲线f(x)在区间[a，b]内是凸曲线，且x0 [a,b]，则，lim

x x0

f (x) f (x0)

x x0

（选＞、＜或＝）；

x 1,x 0

x 0，则，f f f( 1) 10．已知f(x) ,

0,x 0 （2，3)为曲线f(x)上的一个拐点，则f (2) 11．设点M

xn

12．幂级数 n的收敛半径为 2 ；

n 12n

13．

2 xy 41

；

(x,y) (2,0)4xylim

1

x22

14．微分方程y xy 0的通解是y Ce

；

15．已知 f（0）=2，f（2）=3，f (2) 4，则，

2

2

yx

2

xf (x)dx.

二、求由方程x y e（10分）

d2y

所确定隐函数y的二阶导数2。

dx

解；对方程两边求x的导数 整理得

x yy 2x2 y2

2

2

e

y

arcn

x

y x y

，

x2 y2

由x y e

yx

得

y

x y

x y

2(x2 y2)

对上式两边求导整理 得 y

(x y)3

2nn!

讨论级数 n的敛散性。（13分）

n 1n

代入，得 所求平面的方程x

un 1 un

2n 1(n 1)!

(n 1)(n 1)

lim

n 2nn!

nn

yz

1 23

2x

高等数学基础第一次作业点评1

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

x2?13 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?

x?1 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. y?ln(1?x) B. y?xcosx

2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)

2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2??1,x?0 D. y??

1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x2?1