解空间的基与维数

线性空间基和维数的求法

方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有

n个向量?1,?,?n满足:

(1)?1,?2?,?n线性无关。

(2)V中任一向量?总可以由?1,?2,?,?n线性表示。

那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimv?n，并称

?1,?2,?,?n为线性空间V的一组基。

如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。

例1 设V?XAX?0，A为数域P上m?n矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。

解 设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX?0的任一基础解系都是V的基，且V的维数为n?r。

???0a?例2 数域P上全体形如?对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成?的二阶方阵，

?ab??的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证???0a???01??00?为线性空间V?｜a,b?p,???的一组线性无关的向??????10??01????ab???01??00??0a??0a?量组，且对V中任一元素???a??+b?? ?有?ab1001?ab????????按定义??01??00??,??为V的一组基，V的维数为2。 ?10??01?

1．基与维数

结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示；

(ii)V中每个向量都可由 唯一地线性表示； (iii).

结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是 {1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.

R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1) 1, 线性无关：

设，. 则 (否则，,矛盾)，因此. 2) 1, , 线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) ,

两端平方得 ,

由于1, 线性无关，故

假如，则，且，即 . 矛盾.

因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关. 3) 1, , ,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 .

《三联生活周刊》：维基解密与美国政府的战争——美国舆论敌视阿桑奇

来源：《三联生活周刊》 2010-12-21 18:05

今年7月，维基解密对阿富汗战争、伊拉克战争的文件披露，是有史以来最大规模的军事机密泄露。11月28日，维基解密开始发布数以万计的美国外交文件，这是有史以来最大规模的外交机密泄露。英国《卫报》、《泰晤士报》随即展开连续报道。

封面

维基解密网站创始人朱利安?阿桑奇

德国《明镜》周刊报道“维基解密事件”

11月29日，美国国务卿希拉里?克林顿表示，美国对维基解密公布美国政府秘密文件深感遗憾，她将努力消除盟友的疑虑

维基解密解了什么密？

一个危险的国际玩笑

苗炜

在电影《绿区》中，马特?达蒙扮演了一个美国军人，在伊拉克不断寻找大规模杀伤性武器，最终却发现，这个战争借口是个骗局，他把搜集到的情报转交给了

一位记者。现实生活中，一等兵布拉德利?曼宁(Bradley Manning)将服役期间获取的数十万份外交文件下载到光盘中，交给了朱利安?阿桑奇(Julian Assange)创建的维基解密网站。

维基解密网站4年前上线，曾经披露过美军关塔那摩监狱的运作规程、莎拉?佩林私人邮件、基督科学教派的秘密手册等内容。面对要求删除的法律威胁，阿桑奇通常的

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解读马基雅维利笔下的道德与政治

作者：时帅

来源：《法制与社会》2013年第34期

摘 要 尼科洛·马基雅维利是文艺复兴时期意大利一位著名的影响深远的政治思想家，近代资产阶级政治学说奠基人，在马基雅维利的思想中政治与道德的关系构成了他全部理论的核心，长期以来人们对马基雅维利及其思想理论就争议不断，其最大的贡献就是以现实主义的原则出发，使政治活动逐渐开始摆脱神权的控制与束缚，面向真实的人。 关键词 马基雅维利 政治 道德

作者简介：时帅，西北师范大学马克思主义学院，研究方向：比较思想政治教育。 中图分类号：D920.4文献标识码：A文章编号：1009-0592（2013）12-138-02

道德，英语单词为Morality，是指以善恶为标准，通过社会舆论、内心信念和传统习惯来评价人的行为，调整人与人之间以及个人与社会之间相互关系的行动规范的总和。道德作用的发挥有待于道德功能的全面实施。道德具有调节、认识、教育、导向等功能。与政治、法律、艺术等意识形式有密切的关系。政治，英语单词为politics，是指在特定

维数定理与容斥原理

两个有限维子空间的和的维数定理：

dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2) 两个有限集合元素个数的容斥原理：

card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2)

子空间的和类比于集合的并，那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合？

可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用：选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后，设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2，那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。

那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢？考虑三个子空间的情形，类比于三个集合的容斥原理

card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3) 是否也有类似的三个子空间和的维数定理

dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3

马基雅维利政治思想的简要评述

摘要：马基雅维利作为近代资产阶级政治学说的奠基者，他是以匠心独具的深邃洞察力和推

理分析能力在对现实生活中显现的政治现象进行理性思辨。他从传统神学和理论学的束缚中摆脱出来，结合历史经验和生活实践，立足于现实，旗帜鲜明地排斥那些公认的美德，将君主的政治行为和伦理行为截然分开，进而深刻分析了“政治无道德”的权术理论。

关键词：马基雅维利； 政治道德； 权利政治观； 共和制； 政治统治方法

恩格斯曾经在谈到西欧的文艺复兴的时候说过：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大、进步的变革，是一个需要巨人而且产生巨人—在思维能力、热情和性格方面，在多才多艺和学识渊博方面的巨人的时代。”而在他所谈及的巨人代表里，马基雅维利位居其中。近五个世纪以来，马基雅维利是一位十分受争议的人物，集极端的毁和誉于一身。恩格斯如此充满赞美之情地评价马基雅维利，而莎士比亚却把这位巨人称之为“凶残的马基雅维利”，近代人也曾称他为“罪恶的导师”，更有甚者，把他的名字与残暴无情、背信弃义、口是心非、阴险狡诈联系在一起，冠名“马基雅维利主义”。 无论褒与贬，无论毁与誉，最后的终结点还是会落在他的“政治无道德”的权术思想这方面。马克思评价马基雅维利使“政治的理论

Unit 1 MECHATRONICS

? Section I Dialogue

- Could you tell me something about “mechatronics” [,mek?'tr?niks]？ -你能告诉我一些关于“机电一体化”的东西吗?

-Sure. Mechatronics is a term for the integration [,inti'ɡrei??n] of mechanical [mi'k?nik?l] and electronic engineering [,end?i'ni?ri?].

-当然可以。机电一体化是一个综合了机械和电子工程的术语。 - It sounds like a new concept ['k?nsept]. -这听起来像是一个新概念。

-I don’t think so. In fact, mechatronics was coins by the Japanese 40 years ago and has been widely used in the world for many years. And mechatronic devices [di'vais] ha

论述马基雅维利《论李维》的共和制思想

内容摘要：马基雅维利的《论李维》是古典共和主义的一个经典之作，马基雅维利在书中展示了罗马精致的共和制度，把自由、共同利益、公民美德和共和国的建立、巩固紧密地联系在一起。同时他提出了利用纷争实现和谐的观点以及把君主专制和共和制结合起来的理论，在继承古希腊思想家的共和主义思想之际，也为后来的共和主义思想家提供了新的研究视角，马基雅维利成为共和主义复兴承前启后的一个人物。

关键词：共和制 自由 公民美德

与马基雅维利的另一篇名作《君主论》一直备受关注不同，他的《论李维》则是在20世纪50年代公民共和主义的复兴中，被当代共和主义者推崇为古典共和主义的经典著作，马基雅维利也被称为共和主义连续性话语的中间力量。《论李维》，全名是《论提图斯。李维的前十卷书》，是马氏对李维《罗马史》前十卷的注解，他没有局限于讨论李维的前十卷，更多的是对这十卷的评论以及阐述自己的新观点。本书通过对对四种城邦模式的探讨，认为罗马共和国才是最好的政体；通过引进平民和贵族的斗争，在政体中加入了君主专制的因素，使共和政体保持平衡和稳定；马基雅维利认为由于人性恶劣，共和政体也必然会腐化堕落，要避免这种

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

毕 业 设 计

课题名称 电池包装送料装置总体方案及控制系

统设计

院/专 业 机械工程学院/数控设备应用与维护 班 级 学 号 学生姓名

数维1011 1001493101

许峰

指导教师：

黄杰

2013 年 6月 1 日

毕业设计报告纸

摘 要

可编程控制器(PLC )作为控制系统的核心装置，功能强大、性能稳定可靠。在现代工业自动化生产中得到了广泛的应用。取得了理想的控制效果。

本论文以高速全自动电池包装机控制系统为背景，理论与实践相结合，详细阐述了集PLC技术，光电位感应技术等先进控制技术在该包装机控制系统中的应用。论文主要内容如下：概述了可编程控制器PLC的现状及其在包装机械上应用的可能性和前景；通过对电池包装机生产工艺流程的了解，统计其输入输出I/O点，然后进行PLC选型，程序的仿真设计；电池的包装是一个典型的顺序控制，因此我们利用步进控制指令实现了包装过程的程序控制；利用三菱公司的编程软件GX Developer软件进行程序的编写和仿真。

本设计的主要任务就是完成PLC控制系统的设计和控制电路的设计。

关键词：可编程控制器,电池包装机，仿真

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毕业设计报告纸

Abstract

Prog