高三数学含参不等式专题训练

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 类型2：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)

b?b??b??????????????（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a， 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0?f(?)?0a?0（2）当时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0?b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：

f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型4：

f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?

高三数学专题复习06 不等式01

一、填空题

1．不等式ax2?x?b?0(a?0)的解集是?x???11??x??，则a?b＝______. 32???11??x??可得. 32?【解析】由不等式ax2?x?b?0(a?0)的解集是?x?11a?0且?,分别是二次方程ax2?x?b?0(a?0)的两个根.

32所以由韦达定理可得?

2．已知函数f(x)与g(x)的图像关于直线x?2对称，若f(x)?4x?15，则不等式是_________。

【解析】若f(x)?4x?15，则g(x)?f?4?x??4?4?x??15?1?4x，

11111b??,???，解得a?6,b??1.所以a?b=7. 32a32ag(x)?0的解集2x?1故不等式

g(x)1?4x?0?0，即(x?1)(x?1)(4x?1)?0(x?1且x??1)， 等价于22x?1x?11?x?1． 4解得x??1，或

?x2?1,x≥03．设函数f?x???，则满足不等式f?1?x2??f?2x?的x的取值范围是 .

x?0?1,【解析】x?0时，f(x)?x2?1，易知其在[0,??)上单调递增.又f(0)?1，

x?0时，f(x)?1，所以f(x)?1

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

联系电话:15166630349 邮箱:649265828@

以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

联系电话:15166630349 邮箱:649265828@

以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

含参不等式恒成立问题例析

廖东明

含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．

一、已知参数范围求自变量的求值范围

例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．

分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．

解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-?+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于

(2)0(3)0g g ->??>?，即22815030

x x x x ?-+>??->??，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -?<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a

不等式

知识网络

不等关系 三个“二次”间的联系 一元二次不等式 从实际问题中建立一元二次不等式 解一元二次不等式 二元二次不等式(组)表示的平面区域 不等式 二元一次不等式组 简单的二元线性规划问题 基本不等式的几何背景 基本不等式 不等式的证明 基本不等式的应用 第1课时 不等关系与不等式

1. 目标:会利用不等式性质定理判断命题真假，掌握不等式证明方法. 2. 重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简

单的不等式

3、难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【知识要点】：1.比较原理及不等式证明方法：比较法、分析法、综合法。

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a

a?b?a?b?0；a?b?a?b?0；a?b?a?b?0． 2．不等式的性质：

（1）对称性:a?b?b?a， a?b?b?a

（2）传递性:a?b,b?c?，a?c （3）可加性:a?b?. a?c?b?c 移项法则:a?b?c?a?c?b

推论：同向不等式可加. a?b,c?d? a?c?b?d （4）可乘性:a?b,c?0?

不等式

知识网络

不等关系 三个“二次”间的联系 一元二次不等式 从实际问题中建立一元二次不等式 解一元二次不等式 二元二次不等式(组)表示的平面区域 不等式 二元一次不等式组 简单的二元线性规划问题 基本不等式的几何背景 基本不等式 不等式的证明 基本不等式的应用 第1课时 不等关系与不等式

1. 目标:会利用不等式性质定理判断命题真假，掌握不等式证明方法. 2. 重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简

单的不等式

3、难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【知识要点】：1.比较原理及不等式证明方法：比较法、分析法、综合法。

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a

a?b?a?b?0；a?b?a?b?0；a?b?a?b?0． 2．不等式的性质：

（1）对称性:a?b?b?a， a?b?b?a

（2）传递性:a?b,b?c?，a?c （3）可加性:a?b?. a?c?b?c 移项法则:a?b?c?a?c?b

推论：同向不等式可加. a?b,c?d? a?c?b?d （4）可乘性:a?b,c?0?

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：

一、构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式

对任意的

都成立，求的取值范围.

例2：在R上定义运算?：x?y＝x(1－y) 若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( ) (A)－10对满足0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围。

二、分离参数法

在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a

例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝

*

1nn-1nnn*

[3+(-1)·2]+(-1)·2·a0(n?N )5若对任意n≥1，n?N，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。

例6．（2012?安徽模拟）若不等式x2