概率论与数理统计9讲

《概率论与数理统计》课程论文

浅谈概率论的思想发展及应用

能源科学与工程学院

于晓滢 1130240415

哈尔滨工业大学

摘 要

概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。

I

目 录

摘 要 ................................................................................................................................................. I 第1章 概率论的诞生 ..................................................................................................................... 1

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件及其运算

1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω

表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表

示，Ω表示必然事件，

?表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系

（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事

件B发生，则称A被包含于B，记为A?B;

（2）相等关系：若A?B且B? A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 （3）互不相容：如果A∩B=

?，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容

7、事件运算

（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩ B或AB。

（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 A－B。用交并补可以

上课时间 第一周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念 教学目的 使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念 教学方法 讲授 重点、难点 基本概念的掌握与理解 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性就是我们所说的统计规律性。 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。 1.1随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验： ①可以在相同的条件下重复地进行。 ②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 ③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 1.2样本空间、随机事件

（1）样本空间 我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。 （2）随机事件 我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

4C表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为

i4?iC5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54 P(C)?1?P(C)?1?4C105?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110?4

一、 事件的关系与运算

1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ） （A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”. （C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.

8、 设A、B、C为三个事件，则事件“ A、B、C都不发生”可表示为 ( C )

(A) ABC ； (B) 1?ABC； (C) A B C； (D) A?B?C.

1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件Ai={第i幢楼房经评估鉴定为安全}（i=1，2，3）。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全” 用A1、A2、A3可表示为

A1A2 A3?A1A2A3?A1 A2A3；

二、 五大公式：

3、设X在1,2,3,4中等可能取值，Y再从1,?,X中等可能取一整数，则 ； P（Y?4）?（A）

(A) 1/16 ； (B) 7/48； (C) 13/48； (D) 25/48.

P(B)?0.5，1、已知事件A，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? B有概率P(A)?0.4，0.62 ．

1、已知事件

概率论与数理统计 课件

第 2 章

随机变量的分布与数字特征

§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布

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§2.1 随机变量及其分布一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度

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一、 随机变量的概念随机变量的直观定义 从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特征。 这些数值因试验结果的不确定性而带有随机性， 因此称为随机变量。 随机变量是概率论的重要概念，把试验的基本结 果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解， 还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。 有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子 的点数、灯泡的使用寿命等。 而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联 系，如抛硬币时规定出现正面时用1表示，出现反 面时用0表示。

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例1将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H,T出现的 顺序不关心。以X

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2.3 连续型随机变量的概率密度2.3.1 连续型 r.v.的概念 的概念 定义 设 X 是随机变量 若存在一个非负 是随机变量, 可积函数 f ( x ), 使得

F(x) = ∫ ∞ f (t)dt

x

∞ < x < +∞

其中F 其中 ( x )是它的分布函数 是它的分布函数 是它的概率 则称 X 是 连续型 r.v. ,f ( x )是它的概率 是它的 密度函数( 简记为d.f. 密度函数 p.d.f. ),简记为 简记为1

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分布函数与密度函数 几何意义f ( x) F(x)0.08 0.06 0.04 0.02

y = f (x)

-10

-5

5

x

x2

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说明: 说明: (1) 离散型随机变量的分布函数总是右连续 的阶跃函数； 的阶跃函数； (2) 连续型随机变量的分布函数一定是在整个 数轴上的连续函数. 数轴上的连续函数

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p.d.f. f ( x )的性质 的性质① f (x) ≥ 0 ②

∫ ∞ f (x)dx = F(+∞) =1

+∞

常利用这两个性质检验一个函数能否作为 连续型 r.v.的 d.f. 的 ③

上课时间 第一周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念 教学目的 使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念 教学方法 讲授 重点、难点 基本概念的掌握与理解 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性就是我们所说的统计规律性。 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。 1.1随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验： ①可以在相同的条件下重复地进行。 ②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 ③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 1.2样本空间、随机事件

（1）样本空间 我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。 （2）随机事件 我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称

《概率论与数理统计》试卷1

一、填空题

1.设A,B是两个随机事件，P(A)?0.5，P(A?B)?0.8，(1)若A与B互不相容，则P(B)= ；

(2)若A与B相互独立，则P(B)= . 2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 . 3.设离散型随机变量X的概率分布为P?X?k??3a，k?1,2,?，则常数a? . k4.设随机变量X的分布函数为

?0,x?0?F(x)??ax2,0?x?2

?1,x?2?则常数a? ，P{1?X?3}= .

5.设随机变量X的概率分布为

-1 0 X

0.3 0.5 P 2则E(3X?3)= .

1 0.2 6.如果随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，且E(X)?3，D(X)?4，则a= ，b= . 327.设随机变量X，Y相互独立，且都服从参数为0.6的0?1分布，则P{X?Y}= . 8.设X，Y是两个随机变量，E(X)?2，E(X)?20， E

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概率论与数理统计教程(第二版)

茆诗松、程依明、濮晓龙 高等教育出版社 编著

主讲教师: 魏 正 元

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章 节 目 录

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 随机事件与概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 大数定律与中心极限定理 统计量及其分布 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析