数理方程达朗贝尔公式

数理方程公式

▲一维弦振动的初值问题：达朗贝尔公式

▲二维波动方程的柯西问题：二维泊松公式

???u22??2u22?u,(???x??,t??t2?a?x2?0) ??a2(?u?u??t??x2??y2)? ?ut?0??(x),utt?0??(x)??u??(x,y),?u??(x?at?t?0?tx,y)t?0解为：u(x,t)?12[?(x?at)??(x?at)]?12a??(?)d?

x?atu(x,y,t)??1?(?,?)d?d?▲一维弦振动的初值问题：齐次化原理

?t[2?a??2?Mat(at)?(??x)2?(??y)2]???2u?2?12u???(?,?)d?d?t?f(x,t),(???x??,t?0)??2?a?x2 2?a?Mat(at)2?(??x)2?(??y)2?1at2??ut?0?0,utt?0?0???(x?rcos?,y?rsin?)?t[]解为：u(x,t)?1tx?a(t??)2?a??00(at)2?r2rd?drf(?,?)d?d?

1at2?2a???(x?rcos?,y?rsin?)0x?a(t??)?2?a??dr▲一维弦振动的初值问题：达朗贝尔公式+齐次化原理

00(at)2?r

第14章 达朗贝尔原理（动静法）

14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数fs = 0.2。求：（1）降落加速度a为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。

解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力FI。 （1）零件不滑动时，受力如图（a），它满足以下条件： 摩擦定律 Fs?fsFN （1） 达朗伯原理

?Fx?0

Fs?FIsin30??0 （2） ?Fy?0

FN?FIcos30??mg?0 （3）

把FI = ma代入式（1）、（2）、（3），解得a?2.92 m/s2

2）零件不滑动而倾倒时，约束反力FN已集中到左侧A点 如图（b），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 ?MA?0 即

d2(?mg?FIcos30?)?FIsin30?h2?0 （4）

以FI = ma代入式（4），解得

hd?2g?a3a

此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果a?2.92 m/s2代入上式 得

加速度为

l

第14章 达朗贝尔原理（动静法）

14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数fs = 0.2。求：（1）降落加速度a为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。

解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力FI。 （1）零件不滑动时，受力如图（a），它满足以下条件： 摩擦定律 Fs?fsFN （1） 达朗伯原理

?Fx?0

Fs?FIsin30??0 （2） ?Fy?0

FN?FIcos30??mg?0 （3）

把FI = ma代入式（1）、（2）、（3），解得a?2.92 m/s2

2）零件不滑动而倾倒时，约束反力FN已集中到左侧A点 如图（b），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 ?MA?0 即

d2(?mg?FIcos30?)?FIsin30?h2?0 （4）

以FI = ma代入式（4），解得

hd?2g?a3a

此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果a?2.92 m/s2代入上式 得

加速度为

l

虚位移、达朗贝尔

专项练习

一．判断题、填空题

1．质点有运动就有惯性力。

（ ）

2．已知质点的运动方程就可以确定作用于质点上的力；已知作用于质点上的力也可以确定质点的运动方程。

（ ）

3．虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主动力以及运动的初始条件无关。

（ ）

4．不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢的大小都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向则与质心加速度方向相反。 （ ）

5．如图所示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰连而成。已知：圆盘半径为r、质量为M，杆长为l，质量为m。在图示位置，杆的角速度为??、角加速度为??，圆盘的角速度、角加速度均为零。则系统惯性力系向定轴O简化后，其主矩为 。

二、 计算题

图示匀质细杆的端点A、B在固定圆环中沿壁运动。已知：杆长为L、重为P，质心C的速度大小为υC（常数），圆环半径为r。试求惯性力系向圆心O简化的结果。

三 计算题

在如图所示机构中，各构件自重不计，已知OC = CA，P = 200 N，弹簧的弹性系数k = 10 N/cm，图示平衡位置时??= 30°，?? = 60°，弹簧已有伸长?? = 2 cm，OA水平。试

一. (10分)填空题

1.初始位移为?(x),初始速度为?(x)的无界弦的自由振动可表述为定解问题:

2.为使定解问题

?ut?a2uxx???ux?0?0,ux???ut?0?0x?l?u0 （u0为常数）

中的边界条件齐次化,而设u(x,t)?v(x,t)?w(x),则可选w(x)? 3.方程uxy?0的通解为

4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程uxy?x2y满足条件u(x,0)?x2,u(0,y)?cosy?1的特解为

二. (10分)判断方程

uxx?y2uyy?0

的类型，并化成标准形式．

三. (10分)求解初值问题

??utt?4uxx,???x???,t?0?2 u?x,u?cosx?tt?0?t?0

四. (15分)用分离变量法解定解问题

?utt?a2uxx,0?x?l,t?0???uxx?0?0,ux|x?l?0 ???ut?0?x,utt?0?0.

五. (15分)解非齐次方程的混合问题

?ut?uxx?x,0?x??,t?0???ux?0?0,ux???0,t?0 ?0?x????ut?0?0.

六. (15分)用积分变换法解无界杆热

1、设ui满足线性方程Lui?0(i?1,2?n)，那么它们的线性组合u??ui必然满足方

i?1n程 。

2.定解问题的适定性包括：存在性、唯一性和 . 3、只有初始条件没有边界条件的定解问题称为 4、n阶贝塞尔方程的标准形式为： 5、

ddJ0(x)? , xJ1(x)? , dxdx6. 若非齐次边界条件为u(0,t)??1(t),ux(l,t)??2(t)，则要将边界条件齐次化可选取辅助函

数W(x,t)?

?ut?a2uxx,t?0,0?x?l7、由分离变量法得到定解问题?的级数形式的解为?u?0,t??u?l,t??0?u?x,0????x??u?x,t???cnen?1??(n?a2)tlsinn?x, 则其中cn?

2006-2007学年第一学期《课名》期终考试试卷--1

同济大学课程考核试卷（A卷）

2007—2008学年第二学期

命题教师签名： 审核教师签名：

课号： 课名：数学物理方程 考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试(? )、重考( )试卷

5. 由数学模型

?????u???2u?2u?,???x???,t?0?t2?x2?u1?0,?,???x???t?0t?02?t1?x确定的弦振动位移在特征线

x?t?0上的位移值为 ( )

A. 0.5arctan2t; B. arctan2t; C.

?4; D. 0.

t?1??]? ( ) ?变换为F[f(t)]?F(?) 则F[f? 6. 已知f(t)的Fourier年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 总分

初中 数学公式最全

一.初中数学代数公式、定理汇编

一次方程(组)与一次不等式(组)

Ⅰ算术解法与代数解法 1、未知数和方程

用字母x、y…等，表示所要求的数量，这些字母称为“未知数” 用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式

含有未知数的等式，叫做方程，在一个方程中，所含未知数，又成为元;

被“＋”、“－”号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数 某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数

不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项 2、方程的解与解方程的根据

未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式 能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根 求方程解的过程，叫做解方程

解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”

可以“由表及里”地去掉括号，并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来，合并在一起——这叫做

合并同类项

把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是“移项变号” 把方程两边各同除以未知数的系数(

数学物理方法期中测验试题

一 填空题 （每题5分，共20分）

1 现有一长度为l的均匀细弦，弦的x?0端固定，x?l端受迫作简谐振动Asin?t，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数u?x,t?所满足的定解问题是（ ）。

?utt?a2uxx(0?x?l,t?0),?? ?ux?0?0,ux?l?Asin?t(t?0),

???ut?0?0,utt?0?0(0?x?l).2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（ ）。

?uxx?uy?(0?x?a,?0y?b),y0??0y?b) , ?uxx?0?0,uxx?a0(??u?0,uy?b?u0(?0x?b).??y?03 常用三类齐次边界条件的统一表达式是（ (?u???u，当（ ??0 ）就是第一)?f(M,t)）

?n??类边界条件；当（ ??0 ）时，就是第二类边界条件。

4 积分?x3J0?x?dx?（ ）。 解 利用递推公式

dm[xJm(x)]?xmJm?1(x)和分部积分法，得 dx

数学物理方法期中测验试题

一 填空题 （每题5分，共20分）

1 现有一长度为l的均匀细弦，弦的x?0端固定，x?l端受迫作简谐振动Asin?t，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数u?x,t?所满足的定解问题是（ ）。

?utt?a2uxx(0?x?l,t?0),?? ?ux?0?0,ux?l?Asin?t(t?0),

???ut?0?0,utt?0?0(0?x?l).2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（ ）。

?uxx?uy?(0?x?a,?0y?b),y0??0y?b) , ?uxx?0?0,uxx?a0(??u?0,uy?b?u0(?0x?b).??y?03 常用三类齐次边界条件的统一表达式是（ (?u???u，当（ ??0 ）就是第一)?f(M,t)）

?n??类边界条件；当（ ??0 ）时，就是第二类边界条件。

4 积分?x3J0?x?dx?（ ）。 解 利用递推公式

dm[xJm(x)]?xmJm?1(x)和分部积分法，得 dx