射影几何

前 言

射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。

1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义

定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。

定义1′ 完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

*欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 相似三角形------射影定理的推广及应用

欧阳光明（2021.03.07）

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理

射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD ２＝ＢＤ?AD 、

ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。

二、变式推广

１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为

高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ

发表于 2010-11-4 19:00 | 只看该作者 [医学资讯] 手机发射塔对人的危害

最近在我家附近安装一个手机信号发射塔，上网查了一些资料，它对人的幅射挺大的。把这些资料和给大家看一下。我们要是生活在幅射的环境中对身体肯

定有害。

辽宁本溪一小学“辐射”事件调查

近日，据某媒体报道，辽宁省本溪市明山区春明小学学生家长联名反映，称校园内手机信号发射基站导致学生无故流鼻血、视力下降、记忆力减退，附近

居民也受到辐射影响。

据记者观察，学生家长所说的手机信号发射塔建在春明小学教学楼的右侧。借助教学楼西墙与校园围墙围成一个小院，发射塔基座就建在小院里。小院的大门只有门框，没有门扇。该基站北侧10米是春明小学的4层教学楼；东侧和南侧是操场；西侧15米是4

层居民楼。

发射基站缘何建在校园内？

从本溪市教育局上报给辽宁省教育厅的一份情况说明中，记者了解到春明小学校园内手机信号发射基站建设的全过程：2004年8月，联通公司工程部负责经理到春明小学与学校领导商谈在校园内西侧建一个

发射基站。当时，学校并没有同意此事，联通公司负责同志出示了本溪市zhengfu办公厅有关文件，并且出示了省环保局就本钢技校基站（原基站在本钢

第二章 射影映射

本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。

§1透视

透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。

定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。如图2.1记成

?(y,z,u,v???)?a(?,?,?,?,???)

定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作

?(a,b,c???)???(a?,b?,c?,???)或?(a)???(a?)，如图2.2

?S对偶定义：

图2.1

线束s和s’的对应直线的交点在一直线?上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线?叫做透视轴。记作

s(?,?,?,???)?s?(??,??,??,???)或s(?)?s?(??)，如图2.3.

????

图2.2 图2.3

两个点列射影的,记作?(a)???(a?)；两个线束射影的,记作s(?)?s?(??)

看图2.2,如果

第二章 射影映射

本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。

§1透视

透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。

定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。如图2.1记成

?(y,z,u,v???)?a(?,?,?,?,???)

定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作

?(a,b,c???)???(a?,b?,c?,???)或?(a)???(a?)，如图2.2

?S对偶定义：

图2.1

线束s和s’的对应直线的交点在一直线?上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线?叫做透视轴。记作

s(?,?,?,???)?s?(??,??,??,???)或s(?)?s?(??)，如图2.3.

????

图2.2 图2.3

两个点列射影的,记作?(a)???(a?)；两个线束射影的,记作s(?)?s?(??)

看图2.2,如果

*欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 相似三角形------射影定理的推广及应用

欧阳光明（2021.03.07）

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理

射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD ２＝ＢＤ?AD 、

ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。

二、变式推广

１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为

高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ

圆锥曲线的谢国芳定理

——继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩

谢国芳（Roy Xie） Email: roixie@163.com

摘要： 本文在帕斯卡定理和布列安桑定理的基础上得到了关于圆锥曲线的一个美妙深刻的新定理，作为推论证明了双心六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。

关键词： 帕斯卡定理 布列安桑定理 极线 配极原理 双心六边形

Abstract: In this article we derive an elegant and deep new theorem concerning conic sections based on Pascal’s theorem and Brianchon’s theorem, and prove that the three diagonals and the three lines connecting two tangent points on each pair of opposite sides of a bicentric hexagon are concurrent as a corollary.

Key words:

使用Photoscan生成DEM与正射影像流程（使用像控点） 1. 参数预设

使用工具菜单的工具-偏好设置打开PhotoScan Preferences对话框 一般（General）选项卡上的参数设置下列值：

立体模式：浮雕（如果你的图形卡支持四轴缓冲，使用硬件） 视差:1.0

将日志写入文件：指定Agisoft日志的目录 GPU选项卡设置如下：

勾选在对话框中PhotoScan检测到的任何GPU设备。 当使用少于两个GPU时，勾选 “在执行GPU加速时使用CPU”

高级选项卡参数设置下列值：

保持深度图：启用 存储绝对图像路径：禁用 启用VBO支持：启用

2. 添加照片

从工作流菜单中“添加照片”选择添加照片命令或单击工作区工具栏上的Add Photos按钮。

在添加照片对话框中浏览源文件夹并选择要处理的文件。点击打开按

钮。

3. 装载相机POS文件

生成的模型使用的坐标系统是由这个步骤中设置的相机POS坐标系统决定的。如果相机位置未知，这一步可以跳过。对齐照片这种情况下需要更多的时间。

打开视图菜单中的参考面板，在参考面板工具栏上单击“导入”按钮，并在打开的对话框中选择包含POS信息的文件。

最简单的方法是载入字符分隔的文本文件（

使用Photoscan生成DEM与正射影像流程（使用像控点） 1. 参数预设

使用工具菜单的工具-偏好设置打开PhotoScan Preferences对话框 一般（General）选项卡上的参数设置下列值：

立体模式：浮雕（如果你的图形卡支持四轴缓冲，使用硬件） 视差:1.0

将日志写入文件：指定Agisoft日志的目录 GPU选项卡设置如下：

勾选在对话框中PhotoScan检测到的任何GPU设备。 当使用少于两个GPU时，勾选 “在执行GPU加速时使用CPU”

高级选项卡参数设置下列值：

保持深度图：启用 存储绝对图像路径：禁用 启用VBO支持：启用

2. 添加照片

从工作流菜单中“添加照片”选择添加照片命令或单击工作区工具栏上的Add Photos按钮。

在添加照片对话框中浏览源文件夹并选择要处理的文件。点击打开按

钮。

3. 装载相机POS文件

生成的模型使用的坐标系统是由这个步骤中设置的相机POS坐标系统决定的。如果相机位置未知，这一步可以跳过。对齐照片这种情况下需要更多的时间。

打开视图菜单中的参考面板，在参考面板工具栏上单击“导入”按钮，并在打开的对话框中选择包含POS信息的文件。

最简单的方法是载入字符分隔的文本文件（