数学分析选讲 学位考试

南京师范大学泰州学院2008-2009年第一学期学士学位

课程考试卷

2006年级数学与应用数学专业《数学分析》课程考试卷 B

卷

（考试时间120分钟，满分100分）

班级： 得分： 学号： 姓名：

题号 成绩

一．

一 二 三 四 总分 是非判断题： （每题2分, 共20分）

x?x01. 若f?x?在x0处连续，则limf(x)存在。 （ √ ） 2.函数f?x?在区间?a,b?上一致连续?f(x)在?a,b?上连续。（√ ）

3. 若函数f?x?在?a,b?上有界，则f?x?在?a,b?上可积。 （× ）

??4.若反常积分

?a f(x)dx收敛,则f?x??0(x???)。 （× ）

5. 若?un条件收敛，?vn绝对收敛，则 ?(un?vn)条件收敛

（ √）

6.二元函数f?x,y?在(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在，则f?x,y?在(x0,y0)处连续。 （ ×）

1

7. 级数?un

数学分析

《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求

《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书

本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999

2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992

第三部分：教学内容纲要和课时安排

第一章 一元函数的极限

复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和

数学分析

《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求

《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书

本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999

2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992

第三部分：教学内容纲要和课时安排

第一章 一元函数的极限

复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

第一讲 习题解答

习题1-1

1 计算下列极限

p

1

① limn 1 1 , p 0

n n

解：原式=lim

1

n

1

1 1 n

limn 1n

p

1 p

1 0pp

1 x 1 0 n p lim 1 x n 01x 0

0n

p

p

x 0

② lim

sinx sinasin x a

x a

解：原式=lim

sinx sina

x a

x a

x a sin x a

lim

sinx sina

x a

x a

= sinx

x a

cosa

③

lim

x 1，m,n为自然数

解：原式

=lim

1x 1

x 1

x 1

x 1

1

nm

④

lim2 1

n

n

,a 0

1 ln2 an 1 lim

1n

解：原式 lime

n

nln1

eln2a 1

e

ln 2a 1

x

n

ex 0

lim

x

x

x0ln2a 1 ln2a 1

=e

lim

x 0

x

e

x 0

e

2lna

a

2

⑤ lim

x a

a xx a

xa

,a 0

x

a

a

a

x

a

a

a

解：原式=lim

x a

a a a x

x a

xa

a

lim

a ax a

x a

lim

x ax a

x a

a

x

x a

x

a

x a

a

a

lna 1

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

第一讲 习题解答

习题1-1

1 计算下列极限

p

1

① limn 1 1 , p 0

n n

解：原式=lim

1

n

1

1 1 n

limn 1n

p

1 p

1 0pp

1 x 1 0 n p lim 1 x n 01x 0

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p

p

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② lim

sinx sinasin x a

x a

解：原式=lim

sinx sina

x a

x a

x a sin x a

lim

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x a

x a

= sinx

x a

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③

lim

x 1，m,n为自然数

解：原式

=lim

1x 1

x 1

x 1

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1

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④

lim2 1

n

n

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1 ln2 an 1 lim

1n

解：原式 lime

n

nln1

eln2a 1

e

ln 2a 1

x

n

ex 0

lim

x

x

x0ln2a 1 ln2a 1

=e

lim

x 0

x

e

x 0

e

2lna

a

2

⑤ lim

x a

a xx a

xa

,a 0

x

a

a

a

x

a

a

a

解：原式=lim

x a

a a a x

x a

xa

a

lim

a ax a

x a

lim

x ax a

x a

a

x

x a

x

a

x a

a

a

lna 1

第五讲 积 分

一、知识框架：

?定积分的定义：分割、近似、求和、取极限??必要条件??可积条件??充要条件??充分条件????线性组合性????区间可加性????不等式性?积分性质???绝对值性定积分??积分中值定理?????斯瓦茨不等式???牛顿莱布尼茨公式（不定积分）???定积分的计算?换元法???分部积分????对称性? ?变限积分??非正常积分二、重要结论：

三、例题赏析：

1例9．设m,n?0为整数,求积分xm(1?x)ndx的值.

?0 解：

1设I(m,n)=?xm(1?x)ndx,则由分部积分法有0m?111xm?1xm?1nnxn?1I(m,n)=?(1-x)d?(1?x)|??n(1?x)(?1)dx?I(m?1,n?1).0m?1m?1m?1m?100n 1从而

I(m,n)?

nnn?1nn?11I(m?1,n?1)?I(m?2,n?2)????I(m?n,0)m?1m?1m?2m?1m?2m?nn!1m!n!即得解。 ??(m?n)!m?n?1(m?n?1)!m!aa（利用余元公式、换元、?函数更为简单）

f(x)例10．设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则?dx??f(x)dx. x1+e?

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业

一、判断下列命题的正误

1. 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确 （正

确） 2. 收敛数列必有界. (正确)

3. 设数列{an}与{bn}都发散，则数列{an?bn}一定发散. (错误) 4．若S为无上界的数集,则S中存在一递增数列趋于正无穷. (正确) 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)

二、选择题

1．设f(x)???x?2,x?1, 则 f[f(1)]?(

3?x,x?1? A ) .

A ?3 ； B ?1 ； C 0 ； D 2

2．“对任意给定的??(0,1)，总存在正整数N，当n?N时，恒有|xn?a|?2?2”是数列

{xn}收敛于a的（ A ）.

A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件；

C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件

3．若数列{xn}有极限a,则在a的?(?0)邻域之外，数列中的点（

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛