高中数学平面向量经典例题及解析

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

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高中数学经典解题技巧：平面向量

【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无 论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网 数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望 能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了， 下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题， 同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：

1． 平面向量的实际背景及基本概念 （1） 了解向量的实际背景。

（2） 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3） 理解向量的几何意义。 2． 向量的线性运算

（1） 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

（2） 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3） 了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3． 平面向量的基本定理及坐

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

第五章 平面向量 第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程：

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 A B 二、 提出课题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1?数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： a B 1?几何表示法：点—射线 （终点） 有向线段——具有一定方向的线段 A(起点) 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）

2?字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）

3． 模的概念

专题9 平面向量及应用

★★★自我提升

????1．如图1所示，D是?ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ）

??2．已知向量a?(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a?b?3，则b?（）

3113133） C．（,） D．（1,0） ,） B．（,222244??3. ?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p?(a?c,b),

????q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为（ ） ???2?A. B. C. D. 6323???????24．已知|a|?2|b?|0,且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根,则a与b的夹角的取值范围是

A．（( )

????1????????1????????1????????1????A.?BC?BA B. ?BC?BA C. BC?BA D. BC?BA

222???2???2??] D.[,?] ] B.[,?] C.[,63336115．若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab?0)共线，则?的值等于___

高中数学必修4之平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终

点的大写字母表示，如：AB AB，a；坐标表示法a xi yj (x,y) 向

量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

0与任意向量平行零向量a＝0 ｜②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，

a｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的

问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a0为单位向量 ｜a0｜＝

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

线上a∥b(即自

由向量)

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：a b大

小相等，方向相同(x1,y1) (x2,y2)

x1 x2

y1 y2

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设AB a

基础练习

1、若(3,5)AB =u u u r ，(1,7)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ）

A ．（－2，－2）

B ．（－2，2）

C ．（4， 2）

D ．（－4,－12）

2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( ) A 、(－2，－1) B 、(－2，1) C 、(－1，0) D 、(－1，2)

3、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）

A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

4、若平面向量b r 与向量a r =（1，－2）的夹角是180°，且|b r |=，则b r =（ ）

A ．（－1，2）

B ．（－3，6）

C ．（3，－6）

D ．（－3，6）或（3，－6）

5、在ABC AB BC AB ABC ?=+??则中，若,02是（ ）

A ．锐角三角形

B ． 直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝（ ）

（A ）20 （B ）21

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

?????1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。

?????2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。 ??3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|?1。

??4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

????????7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB??BA。

8.三角形法则：

????????????????????????????????????????????AB?BC?AC；AB?BC?CD?DE?AE；AB?AC?CB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

??????以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a?b，a?b。

????????10.共线定理：a??b?a//b。当??0时，a与b同向；当??0时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

????2???2?22212.向量的模：若a?(x,y)，则|a|?x?y，a?|a|，|a?b|?(a?b

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得

学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

→

1．若点P的坐标为(2 016,2)，向量PQ＝(1，－3)，则点Q的坐标为________． →→→

【解析】 ∵PQ＝OQ－OP， →→→∴OQ＝OP＋PQ

＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)

→→→

2．(2016·如东高一检测)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝________. →→→

【解析】 BC＝BA＋AC →→＝BA－CA ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)

→

3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________． 【解析】 设B点坐标为(x，y)， →

则AB＝(x＋1，y－5)， →

∵AB＝3a，

∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴?

??x＋1＝6，

??y－5＝9，

∴?

??x＝5，

??y＝14.

【答案】 (5,14)

→

4．若向量a＝(x＋3，y－4)与AB相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．

→

【解析】 ∵AB＝(3,2)－(1,2)＝