高等代数教案第三章行列式

n级行列式的性质质性行列1互，换列行不式变即D′,=D性。2质列式某行(列)元素行公因子的可提行到列式符之号外。性3质若行列式的某一行列)(元的素是两数都之和则该行，式可表为列个两新行列式和。之性4质如行果式中有两列(列)相行，那么同行列为式。零性 5质行列式中行(两列成)比例则，列式为零。行性 6质把行式的列一某(列行)倍的数加到一另行(列)行列，式变不。性质7对换列行中两式行()位置列，行式列反。s号iuabhnincu.@duec.n昌南学大理学院数学系

算计行式列常方法用1()利用义定2()利用列行的性质式化为三角形行列式( 3)行列按行(列式展开)原则(4)递推法 ( 5)数归纳学法 6( )每行为和数，列常加相再，取公提子因 7) (相两邻依次行相减，化行简式列()利用已8有结论的9()镶边法ishubinanc@u.duec.n南昌大理学院数学系学

课堂

练习、1计行列式算1 1 2 3 3 3 17 9 D5 2=04 2 13 5 7 1 46 4 4 1 01 02siuabhnin@cu.eud.nc南大学理学院昌数学系

:

1解 1 2 33 7=D 20 4 3 75 4 4 1100 1 02 1

3 1

3.3 n 阶 行 列 式

教学目的：

1、 理解和掌握n阶行列式的定义和性质。

2、 能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。 教学内容：

1、 行列式的定义：

任意取n个数aij（i=1,2,…,n;j=1,2,…,n）,排成以下形式： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n

(1)

……………. an1 an2 … ann.

2考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形式：

a1j1 a2j2 … anjn, （2） 这里下标j1,j2,...,jn是1，2，…，n这n个数码的一个排列。反过来，给了n个数码的任意一 个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切位于（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n!个。

我们用符号?(j1 j2…jn)表示排列j1 j2…jn的序数。

a11a21 定义 用符号 ...an1a12a22...a

高等代数(上)第二章 行列式课外习题

一、判断题

1、在矩阵的初等变换之下其行列式的值不变. ( ) 2、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ） 3、设abcd是一个4级排列，则abcd与badc的奇偶性相同； （ ） 4、奇数阶的反对称行列式一定为零（ ）；

5、若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ） 6、如果行列式D?0，则D中必有一行为零。 （ ） 7、D?aij3?3,Aij为aij的代数余子式,则a11A21?a12A22?a13A23?0 （ ）

28、若在n阶行列式中等于零的元素个数超过n?n个，则这个行列式的值等于零。（ ） 9、如果行列式D各行元素之和等于0，则必有D?0。 （ ） 10、若行列式有两行对应元素成比例, 则行列式的值为0.

厦门理工

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式15x3??2 = 0，则x? [ C ]

25（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于

第一章 行列式

一、教学目的：掌握行列式的概念；

熟练掌握行列式的性质及计算方法； 利用克莱姆法则解线性方程组。

二、学时分配：

三、重点、难点：熟练运用行列式的性质，掌握行列式计算的方法 四、作业：

§1 n阶行列式

定义：一阶行列式就是元素自身，当n>1时规定n阶行列式为： |a11|?a11，

a11a21?an1a12a22?an2?a1n??ann??aijAij j=1,2,?，n;

j?1n?a2na11a12a22?an2?a1n???aijAij j=1,2,?，n;

i?1n或

a21?an1?a2n?ann

其中Aij?(?1)i?jMij称为元素aij的代数余子式；Mij是从n阶行列式中划去aij的所在的行和列得到的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式。

按此定义计算行列式的方法通常称为拉普拉斯（laplace）展开法，可以简述为：n阶行列式等于任一行（列）元素与其代数余子式乘积之和。

例1 计算对角形行列式

1

a1a2?ana1和

ana2?

其中未写出的数都是零。

解：依行列式的定义，按第一行依次展开，

a1a2?ana1a2?an?(?1)(n?1)?n???3a1a2?an ?(?1)n(n?

线性代数练习题（行列式）A

一、填空题

3?6236? 1、2?6?2300 2、

040030020010? 00)?_____________ 3、N(6312544、四阶行列式det(aij)的反对角线元素之积（即a14a23a32a41）一项的符号为 12?35. 行列式2?10中元素0的代数余子式的值为_______

34?2二、选择题 1、a11a?（ ）

Da?1

Aa?1B?a?1C1?a0101?（ ） 3、11?a111?aA1?aBaCa?1D(1?a)(1?a)

35、若41

1x0x0?0，则x?（ ） x1

Ax?0且x?2Bx?0或x?2Cx?0Dx?2

11106、11011011?（ ）

0111A2B3C?3D?1

1117、xyz?（ ） x2y2z2A(y?x)(z?x)(z?y)BxyzC(y?x)(z?x)(z?y)D

413?2333三、设行列式 D??6?1207，不计算Aij而直接证明：129?2 A41?A42?A43?2A44

x?y?z2

线性代数练习题（行列式）B

一、填空题

1、 设Aij

第三章 线性空间

习题精解

1. 把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.

1)??(1,2,1,1)?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)

?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)

?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4

代入所给向量，可得线性方程组

?k1?k2?k3?k4?1?k?k?k?k?2?1234 ??k1?k2?k3?k4?1??k1?k2?k3?k4?1解之，得

k1?因此

5111, k2?, k3??, k4?? 4444???1??2??3??4

2）同理可得

54141414???1??3

2.证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量可由?1,?2,?,?r线性表出.

证 由题设，可以找到不全为零的数k1,k2,?,kr?1使

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0

显然kr?1?0.事实上，若kr?1?0，而k1,k2,?,kr不全为零，使