二元一次方程组解应用题的典型例题

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如何列二元一次方程组解应用题

众所周知，列方程解应用题既是学习方程的一个重点，又是学习方程的一个难点，而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现，又中考中的常见题型，那么如何才能正确地列出方程组呢？具体地说，列方程组与列一元一次方程基本相似，即基本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数；②行程类问题，即路程=速度×时间；③工程问题，即工作量=工作效率×工作时间；④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即有若个位上数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这三位数可表示为100c+10b+a，等等；⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝

商品的利润×100％.等等.

商品进价下面以列二元一次方程组解2006年中考应用题为例说明如下： 一、古代数学问

二元一次方程组应用题

【例题选讲】 例1：（利息问题）

李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可

得利息43.92元。已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额?20％）

分析：利息问题是一个实际应用问题，一定要结合实际来理解掌握，如：一般说来，利息要

交20%的利息税，但是教育储蓄和国库券等一些特殊形式的储蓄是无须交利息税的。本题中需要求的是两个量，因此直接设两个未知数，从而列出方程组来解决。相等关系是：①两种储蓄的年利率的和=3.24%，②两种储蓄的利息和=43.92元。 解：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，存1000元的这种储蓄的年利率是y，

根据题意得：??x?y?3.24%

(2000x?1000y)?(1?20%)?43.92??x?0.0225

?y?0.0099解这个方程组得：?答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。 注意：本题也可以列一元一次方程来解决：

解法2：设存2000元的这种储蓄的年利率是x，则存1000元的这种储蓄的年利率是

3.24%?x，

根据题意

知识点：二元一次方程组的概念及解法:代入法和加减法 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：

1、 审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系） 2、 考虑如何根据等量关系设元，列出方程组． （设未知数，列方程组） 3、列出方程组并求解，得到答案． （解方程组）

4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意． （检验,答）

例】今有鸡兔同笼，数头35个，数腿94条，问鸡、兔各有多少只？

分析：两个相等关系：①鸡头＋兔头＝总头数；②鸡腿＋兔腿＝总腿数。 解析：设鸡有x只，兔有y只。

由题意可列方程组? 答：鸡有 只，兔有 只。

? ? ?35?x? 解得?

? ? ?94?y? 相似题：

鸡兔同笼问题（1）

1、野鸡和兔子共有39只，它们的腿共有100条，求野鸡和兔子各有多少只。

2、已知板凳和木马共有33个，腿共有101条。板凳和木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）

3、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。其中成人票每张8元，学生票每张5元，共售出10

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实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；

；

；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×

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实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；

；

；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×

第七章 二元一次方程

关于利用二元一次方程组解简单的应用题

【教学目的与要求】

1． 使学生能够找出简单应用题中的未知数与已知数,直接设出两个未知数，并分析出它们之间的关系,寻找

能够表示题意的两个相等关系列出二元一次方程组，解简单的应用题，掌握将实际问题转化为数学问题的本领，并了解一元一次方程与用二元一次方程组解题的不同之处，体会用二元一次方程组在解某些烦琐的问题时的优越性。

2． 会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。

3． 通过列出二元一次方程组解应用题，使学生再次理解“未知”可转化为“已知”的思想方法。 【知识重点与学习难点】

1． 寻找实际问题中的已知数与未知数，一般可以找到两个解题需要的未知数； 2． 根据题意，找出表示应用题全部含义的两个互不关联的相等关系；

3． 用字母（如x,y）代替未知数，列出需要的代数式，从而列出二元一次方程组。 【方法指导与教材延伸】

1． 列方程组解应用题是代数的解题方法，与列一元一次方程解应用题相比，方程组往往更直接，在解复

杂问题时，方程组的优越性就更为明显。列方程组这种解法将两个未知数与已知数同时使用，整体考虑，只要完全按照题目的条件，列出符合要求的代数式，从而得到方程

二元一次方程组应用探索

一、数字问题

例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

二、利润问题

例1一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

2五.一来临，某商店把两种山地自行车上市推销，如果原价买这两种自行车共需880元，而推销时第一种山地自行车打八折，第二种打七五折，结果两种自行车共少买200元，则原来每种自行车售价分别为多少元？

三、配套问题

例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

四、行程问题

例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时分别在A、

以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后

题型一 配套问题

1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

2.螺栓和螺母配套问题3.桌面和桌腿配套问题

题型二 年龄问题

1．甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，甲、乙现在各多少岁？

2.今年,n年之后年龄关系

题型三 百分比问题

1．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少？

2.植树问题3.销售问题

题型四 数字问题

1.有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.

题型五 古算术问题

1.巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。

诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？

2.古题：“我问开店李三公，众客都来到店

教师姓名 学科 阶段 数学 年级

学生姓名 七年级 教材版本 □维护期 华师版

填写时间 二元一次方程组应用题专项练习 教师课时统计 第( )课时 共( )课时 第( 1 )课时 共( 上课 时间 )课时

□观察期 第( )周

课程名称

二元一次方程组应用题专项练习

课时计划

针对弱项进行板块专项练习，学会分析审题画图，寻找等量关系，设未知数，列方程组，解方程组。 教学目标 个性化学习问题解决：1、拓展思维；2.根据实际问题列出不等式的表达式. 学会审题，理解应用题中所包含的信息，寻找等量关系，建立方程组 寻找等量关系，建方程组 教案，白板笔，练习题 教师活动 一、课前交流 《希腊文集》中有一些用童话形式写成的数学题.比如驴和骡子驮货物 这道题，就曾经被大数学家欧拉改编过，题目是这样的：驴和骡子驮着 货物并排走在路上，驴不住地埋怨自己驮的货物太重，压得受不了.骡 子对驴说： “你发什么牢骚啊！我驮的货物比你重，假若你的货物给我 一口袋，我驮上的货就比你驮的重一倍，而我若给你一口袋，咱俩驮的 才一样多. ”那么驴和骡子各驮几口袋货物？ 你能用方程组来解这个问题吗？ 学生活动 设计意图

教学重点 教学难点 教具

由故事引 入题型，让 学生意识 用方程组 来解决实

二元一次方程组的应用题(1)

列方程组解应用题的常见题型

（1）和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量

（2）产品配套问题：加工总量成比例

（3）速度问题：速度×时间=路程

（4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类

1．顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速

2．逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速

（5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间

一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题（6）增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，

原量×（1＋减少率）=减少后的量

（7）浓度问题：溶液×浓度=溶质

（8）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，

税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率

（9）利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%

（10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量

（11）数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式

（13）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的

讲解：(要求解设后列出方程组即可)

【列二元一次方程组1】和、差、倍、