求函数值的常用方法

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

数学复习内容

第5讲 求函数值域的常用方法及值域的应用

高考要求

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［,

23

］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 34

命题意图 本题主要考查建立函数关系式

求三角函数值域及最值的常用方法

（一）一次函数型

或利用：y?asinx?bcosx?a2?b2?sin(x??) 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；

（2）y??2sin(3x??12)?5，y?sinxcosx

（3）函数y?sinx?3cosx在区间[0,?2]上的最小值为 1 ．

（4）函数y?tan(?2?x)(???4?x?4且x?0)的值域是 (??,?1]?[1,??)

（二）二次函数型

利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、及图像法求解。

（2）函数f(x)?cosx?12cos2x(x?R)的最大值等于34．

（3）.当0?x??2时，函数f(x)?1?cos2x?8sin2xsin2x的最小值为 4 ．

（4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ．

（5）.若2?????，则y?cos??6sin?的最大值与最小值之和为____2____．换元

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解

asinx?b型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ccosx?d

数学精品班培训试题 函数值域的几种求法

一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 1.函数y?kx?b(k?0,x?R)的值域为R；

2.二次函数y?ax2?bx?c(a?0,x?R) 当a?0时值域是[4ac?b，+?)，

4a2当a?0时值域是(??,4ac?b]；

24a3.反比例函数y?k(k?0,x?0)的值域为{y|y?0}；

x4.指数函数y?ax(a?0,且a?1,x?R)的值域为R?； 5.对数函数y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域为R；

?6.函数y?sinx, y?cosx (x?R)的值域为[-1，1]；函数y?tanx,x?k?? ,

2 y?cot x (x?k?,k?Z)的值域为R；

二、求值域的方法

1. 分析观察法求值域 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

1例1：求函数y?的值域。

2?x2解

2. 反函数法求值域 对于形如y?cx?d(a?0)的值域，用函数和它的反函数定义域ax?b和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例2 ：求函数y?解

{y|y?R,且y?1}。

3x?1的值域。

函数的定义域与值域的常用方法

一. 教学内容：

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值

二. 学习目标

1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；

3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；

4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；

5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三. 知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题所给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值

训练例题

1. 若集合S?????y|y???1?x??1,x?R???,T??y|y?log??2??2(x?1),x??1?，则S?T等于

?A．{0} B．{y|y?0} C．S D．T 2. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（ ）

1A.y?52?x B.y?(12)1?x C.y?1?2x D. y?12x?1 3. 定义在R上的函数y?f(x)的值域为［a，b］,则f(x?1)的值域为（ ）

A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定

4. 函数y =

2x?1的定义域是(-?，1)?[2,5]，则其值域是（ ） A.(-?,0)?[112,2] B.(-?,2) C.(-?,2)?[2,+?] D.(0,+?)

5. 函数y?lg[x2?(k?3)x?4]的值域为R，则实数k的取值范围是（ ） A．?7?k?1 B．k??7或k?1 C．?1?k?7 D．k??7或k?1 6. 已知函数f(x)满足2f(x)?f(11x

求函数的值域是高中数学的一个重点和难点,也是每年高考必考内容,本文将结合实例介绍求函数值域的常用方法.

Z HON GXU E J￣ UE C L OX ANKA O

解题方法与技巧

一 -一

例谈函数值域的常用求法广西都安县瑶族中； (3 7 0韦牧￣ 50 0 )求函数的值域是高中数学的一个重点和难点，也是每年高考必考内容，文将结合实例介绍求函数值域的本常用方法.一

五、值法最

当函数在其定义域内连续时，如一_ 在[,i厂 )口 h￣ (连续，、分别表示 fC )[,]的最大值和最小 M r在“6上值， _在[,上值域是[ M]则厂 ) n (, . 【 5求函数 y g 1 2ox的值域.例 1:l( - cs )解：为 0 1 2ox 3所以≤ l3因< - cs￣, g.

、

配方法

配方法是求二次函数值域的主要方法.【 1求函数一、_例】/二的值域 .

解因 -++一 ( ),: X 2一 9 为 2 z专+ 9所以一j_ 2 z≤号.+-十2又由函数的定义域知≥o所以已知函数的值域为，

所以函数 y g 1 2ox的值域为(。 l3 .=l( - cs )一。,] g六、形结合法数

“数缺形时少直观，少数时难入微”运用数形结形，

合求函数

一．运用二次函数求极值（顶点坐标法，配方法，判别式法）三种方法等效，适用于有二次函数的式子。

顶点坐标法对于典型的一元二次函数y?ax2?bx?c,

b4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极小值，为ymin?；

2a4ab4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极大值，为ymax?；

2a4a例1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1?Vt， 汽车做匀加速运动，其位移为：S2?12at 22

1232?S?S?S?Vt?at?6t?t 两车相距为：1222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。 当t???Sm?b?6??2(s)时，?S有最大值 2a2?(?3/2)4ac?b24a?0?624?(?3/2)?6(m)

二．利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin?cos?”的形式，则y=Asin2α，在?=45o时，y有极值

函数专题之值域与最值问题

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 .

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法

张昕

陕西省潼关县潼关高级中学 714399

求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1） 直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直

接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.

（2） 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、

双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.

（3） 代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹

方程.这就叫代入法.

（4） 参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的

变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.

（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列