切线长定理及推论

切线长定理

数学探究 如图，纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条切线，沿 着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。 A 问题： 1.OB是⊙O的一条半径吗？

OP B

2.PB是⊙O的切线吗？3.PA、PB有何关系？

4.∠APO和∠BPO有何关系？

数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A 你能证明吗？ O P 用数学语言怎 么表达？ B

· ·

·

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理

数学探究 思考：连结AB,则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A

· O ·EB

·

P

随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B,OP交⊙O于点M,连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°,则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。

AO P

M B

C

数学探究 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ A

B C

数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心

1.下列说法中，不正确的是 ( )

A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点

B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部

C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法：

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18

4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，

则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个

《切线长定理》预习案

1．已知：如图，在三角形ABC中，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，求∠A得度数。

2、圆外切四边形的两组对边的和相等．

已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N，P．求证：AB+CD=AD+BC．

3、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线， A和B是切点，BC是直径． 求证：AC∥OP．

《切线长定理》检测案

1、在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F，求 AF、 BD 、CE的长？

2、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为

AFD、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径EOr．

B

DC

3、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °,点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。

AOBC

4、一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

ABC

蓬莱大辛店中学

徐岩

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.

.

O

LA

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A

L是⊙O的切线.

练习1:已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E

C A D

在经过圆外 一点的切线 上，这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

切线与切线长的区别 与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B。

O

P A

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点；

性质：

2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂

2019中考数学专题练习-圆的切线长定理（含解析）

一、单选题

1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的

周长为（ ）

A. 12cm B. 7cm C. 6cm D. 随直线MN的变化而变化 2.下列说法正确的是( )

A. 过任意一点总可以作圆的两条切线 B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径

3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径

为1，△PCD的周长等于2 A.

，则线段AB的长是（ ）

D. 3

XX 学校--用心用情 服务教育！

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第3课时 切线长定理

学习目标：

1. 理解切线长的定义；

2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解

学习难点：切线长定理的应用

学习过程：

一、知识准备：

1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？

2. 切线的判定和性质是什么？

3. 角的平分线的判定和性质是是什么？

二、引入新课：

过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？

三、课内探究：

（一）探究切线长的定义：

如下图，过⊙O 外一点P ，画出⊙O 的所有切线。

?

P

引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练：判断

1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（ ）

2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（ ）

（三）探究切线长定理：

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用心用情服务教育

2

O

B

A

P

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：

∵

∴

跟踪训练：

1. 如

初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)

《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB， PO平分∠BPA 例题精选：

例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．

（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长． 例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B 、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。

例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是 AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O

的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？ （例3图）（例4图）

例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的

⊙O与DC相切于

24.3 圆周角

第1课时 圆周角定理及推论

［学习目标］

1．理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角．

2．掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明.

［学法指导］

本节课的学习重点是理解并掌握圆周角定理及推论，学习难点是圆周角定理的证明中采用的分类思想及由“一般到特殊”的思想方法；学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展自己的逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力.

［学习流程］

一、导学自习（教材P27-29）

1．阅读教材并认真读图，如图1，视角∠AOB 叫做 角，

而视角∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 不同于视角∠AOB 这一类的角，我们把

∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 这一类的角叫做 .

2.顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．

圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在 ；（2）两边都与圆 ．

3.视角AOB ∠和ACB ∠有什么关系？视角ADB ∠和AEB ∠和视角ACB ∠相同吗？实际上要研究同弧（AB ）所对的圆心角（AOB ∠）与圆周角（ACB ∠）、同弧所

初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)

《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB， PO平分∠BPA 例题精选：

例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．

（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长． 例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B 、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。

例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是 AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O

的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？ （例3图）（例4图）

例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的

⊙O与DC相切于

第3课时切线长定理

学习目标:

1. 理解切线长的定义；

2. 掌握切线长定理,并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点:切线长定理的理解

学习难点:切线长定理的应用

学习过程:

一、知识准备:

1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？

2. 切线的判定和性质是什么？

3. 角的平分线的判定和性质是是什么？

二、引入新课:

过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？

三、课内探究:

（一）探究切线长的定义:

如下图,过⊙O外一点P,画出⊙O的所有切线。

P

引出定义:过圆外一点,可以作圆的______条切线,这点与其中一个切点之间的线段的长,

叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练:判断

1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（）

2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（）

（三）探究切线长定理:

如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线,试指出图中相等的量,并证明。

1

2 e5ecffeccd7931b765ce0508763231126fdb77c2 O B A P

切线长定理:过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。 该定理用数学符号语言叙述为:

∵

∴

跟踪训练:

1. 如图,⊙O 与△ABC 的边BC 相切,切点为点D, 与AB 、AC 的延长线相切,切点分别为店E 、F,则