高中数学不等式公式

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d?R，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式1.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d20

|ac?bd|或a2?b2?c2?d2ac?bd；

0

变式2.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2(a?c)2?(b?d)2 ；

变式3.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则： (x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，

0

ai,bi?R(i?1,2,…,n)，

则： .当且

广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学资料

第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）

一、教学目标

1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）

产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.

2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。

二、教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理

解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学过程

（一）[创设问题情境]

问题1：设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则d≤AB。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1

元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总

高二数学

不等关系；一元二次不等式的解法同步练习

（答题时间：60分钟）

一、选择题

1、若a，b是实数，且a>b，则下列结论成立的是（ ）

b11

A. a2 b2 B. 1 C. lg(a b) 0 D. ()a ()b

a22

*2、若a<0，－1<b<0，则（ ）

A. a ab ab2 B. ab2 ab a C. ab b ab2 D. ab ab2 a *3、设a>b>1，P

lgalgb,Q

1a b(lga lgb),R lg()，则（ ） 22

A. R<P<Q B. P<Q<R C. Q<P<R D. P<R<Q

2

2） （4， ）*4、若ax2 bx c 0的解集是（ ，，则对于函数f(x) ax bx c 应有（ ）

A. f(5) f(2) f( 1) C. f( 1) f(2) f(5)

B. f(2) f(5) f( 1) D. f(2) f( 1) f(5)

**5、函数f(x)

x 4

的定义域是（ , )，则实数a的取值范围是（ ） 2

ax 4ax

高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩

1.（2010?大纲版Ⅰ）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．

（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0． 解：（Ⅰ）

，xf′（x）=xlnx+1，

题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a．令g（x）=lnx﹣x，则

当0＜x＜1，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）≤g（1）=﹣1 综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0． 当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0； 当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）= 所以（x﹣1）f（x）≥0．

2.（2010?大纲版Ⅱ）设函数f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥

；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤

，求a的取值范围．

=

≥0

当且仅当ex≥1+x 令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1

当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数 当x≤0时g

彝

解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

+

:,E: 2i N~ i

≥

、

证明

注意到++

:,由柯西不等式， 2又得

n

H

、

而.

+ - z 1 y 1 -。≥

+

+

(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x

课 题：不等式的解法举（1） 教学目的：

1．掌握分式不等式向整式不等式的转化； 2．进一步熟悉并掌握数轴标根法； 3．掌握分式不等式基本解法 教学重点：分式不等式解法

教学难点：分式不等式向整式不等式的转化

授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

初中,我们学习了一元一次不等式(组);高一,我们又学习了一元二次不等式及形如|x|>a或|x|0)的不等式,已经掌握了这几类不等式(组)的基本解法,从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法 教学过程：

一、复习引入：

解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1一元一次不等式ax+b>0

b} ab(2)若a<0时,则其解集为{x|x<-} a(1)若a>0时,则其解集为{x|x>-(3)若a=0时,b>0,其解集为Rb≤0,其解集为? 2一元二次不等式ax?bx?c >0(a≠0)

2 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为:

ax2?bx?c>0或ax2?bx?c<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集

与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关 (1)若判别式Δ=b-4ac>0,设方程ax

御龙如痴如醉,地下忘记疲惫,炫舞手鼓敲碎,问道闭眼都会┊,飞车百战不退,魔兽砍人无罪,垃圾学校万岁┊。

听课随笔

第2课时不等式

【学习导航】 B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.

学习要求 1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理

一些逆向问题．

2.学会解决一些简单的整点问题．

【课堂互动】 思维点拔： 1.二元一次不等式组表示平面区域的画

图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，自学评价

求交． １．不等式组表示的平面区域

2.由平面区域写不等式组，一要注意是否 .

２．整点： . 有等号，二要注意不要少写不等式．

【精典范例】 追踪训练一 例1．画出下列不等式组所表示的区域 1. 画出下列不等式组所表示的区域

ìy?2x1ïï (1) í ïx+2y>4ïî

ìx>0ïïï (2) &#

课 题：不等式的解法举（1） 教学目的：

1．掌握分式不等式向整式不等式的转化； 2．进一步熟悉并掌握数轴标根法； 3．掌握分式不等式基本解法 教学重点：分式不等式解法

教学难点：分式不等式向整式不等式的转化

授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

初中,我们学习了一元一次不等式(组);高一,我们又学习了一元二次不等式及形如|x|>a或|x|0)的不等式,已经掌握了这几类不等式(组)的基本解法,从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法 教学过程：

一、复习引入：

解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1一元一次不等式ax+b>0

b} ab(2)若a<0时,则其解集为{x|x<-} a(1)若a>0时,则其解集为{x|x>-(3)若a=0时,b>0,其解集为Rb≤0,其解集为? 2一元二次不等式ax?bx?c >0(a≠0)

2 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为:

ax2?bx?c>0或ax2?bx?c<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集

与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关 (1)若判别式Δ=b-4ac>0,设方程ax

彝

解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

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证明

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:,由柯西不等式， 2又得

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(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x

小中高 精品 教案 试卷

三 排序不等式

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理)

定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，

c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1

＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)

a5b5c5111 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：33＋33＋33≥＋＋.

bccaababc 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用