二元函数极限和连续的关系

第四章 二元关系和函数

第一节、集合的笛卡儿积与二元关系

有序对ordered pair定义:有两个元素x,y(允许x=y)按给定顺序排列组成

的二元组合称为一个有序对 ,记作<x,y>其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。例、平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 实数对,我们可用<x,y>表示。 注:有序对是讲究次序的,例<1,3>和<3,1>是表示平面 上两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的 集合。 性质1:如x y即<x,y> <y ,x>。 性质2:<x,y>=<a,b>的充要条件是x=a,y=b.

n元有序对有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, An是 集合，a1 A1, a2 A2, …, an An是元素，定义有 序n元组(ordered n-tuple)为<, an>,注意这是一个归纳(inductive) 定义，将有序 n元组的定义归结为有序 n-1 元组 的定义。 显然有 =

1.二元函数极限概念分析

定义1 设函数f在D?R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?，总存在某正数?,使得P?U0(PD时，都有 0;?) f(P)?A??,

则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记limf(P)?A.

P?P0P?D上述极限又称为二重极限.

2．二元函数极限的求法

2.1 利用二元函数的连续性

命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则

limf(x,y)?f(x0,y0).

(x,y)?(x0,y0)2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解： 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续，所以

limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.

例2 求极限lim1．

?x,y???1,1?2x2?y2 解： 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即

11=．

?x,y???1,1?2x2?y23lim1 / 15

2.2 利用恒等变形法

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

平顶山学院毕业论文(设计)

引言

在日常生活中，关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念，我们都熟知关系一词的含义，例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系，如“4大于2”，“P在点a，b之间”.

在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念，广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系，数据库的数据特性关系，其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类，进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念，通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.

最基本的关系就是二元关系，就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如

B可以从事?，有三个人A,B,C和四项工作?，?，?，?.已知A可以从事?和?，

C可以从事?和?，那么人和工作之间的对应关系可以记作:

R???A,??,?A,??,?B,??,?C,??,?C,???.

这是人的集合?A,B,C?到工作的集合??，?，?，??之间的二元关系.

一 基础知识

定义1?? 设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，

《MATLAB语言》课程论文

用MATLAB绘制一元函数和二元函数的

图象

姓名： 马军

学号： 12010245245 专业： 通信工程 班级： 2010级通信1班 指导老师：汤全武

学院： 物理电气信息学院

完成日期：2011.12.20

用MATLAB绘制一元函数和二元函数的图像

（马军 12010245245 2010级通信工程1班）

【摘要】大学物理力学中涉及许多复杂的数值计算问题，例如非线性问题，对其手工求解较为复杂，而MATLAB语言正是处理非线性问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用。另外，利用其可减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。 【关键词】一元函数 二元函数 MATLAB 图像的绘制

一、问题的提出

MATLAB语言是当今国际上科学界(尤其是自

《MATLAB语言》课程论文

用MATLAB绘制一元函数和二元函数的

图象

姓名： 马军

学号： 12010245245 专业： 通信工程 班级： 2010级通信1班 指导老师：汤全武

学院： 物理电气信息学院

完成日期：2011.12.20

用MATLAB绘制一元函数和二元函数的图像

（马军 12010245245 2010级通信工程1班）

【摘要】大学物理力学中涉及许多复杂的数值计算问题，例如非线性问题，对其手工求解较为复杂，而MATLAB语言正是处理非线性问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用。另外，利用其可减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。 【关键词】一元函数 二元函数 MATLAB 图像的绘制

一、问题的提出

MATLAB语言是当今国际上科学界(尤其是自

研究二元函数(多元函数)的思想方法

一、研究二元函数（多元函数）的思想方法，总的说来有两种：一种称为多重法，用这种方法研究二元函数就是使两个自变量同时变化，一般来说，凡涉及多元函数的一些重要概念和理论多采用多重法，例如多元函数的极限、连续、可微、极值等概念就是如此；另一种是暂时令其中某一个自变量变化，其余的自变量都视为常数，即将二元函数（多元函数）化为一元函数来研究，这种方法称为转化法或单一法。一般来说，凡计算二元函数的某些量多采用此法，例如二元函数的累次极限、偏导数等。

二、二元函数是一元函数的推广，所以必然保留一些与一元函数类似的性质，如一元函数的极限、连续的运算性质可以类比的推广到二元函数，在学习中大家要注意这种类比的方法。 我们既要领会二元函数与一元函数的共性，更要注意它们的差别：例如， z

x就是一个

整体记号，而不是 z与 x的商，可导（偏导数存在）不一定连续，可微与可导不等价等等，这些差别需要我们尤其注意。

一元函数与多元函数的不同从方法论上可以这样理解：一元函数中的重要性质或理论，如果在多元函数中涉及到且以多重法给出，那么这种性质或理论就仍可保持；反之，如果在多元函数中涉及的概念既有用多重法又有用单一法给出，则这种性质或理论就不再保持

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函数:

?1?g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f