线性代数第五章答案同济大学

第五章 相似矩阵及二次型

一、 是非题（正确打√，错误打×）

1．若线性无关向量组?1,?,?r用施密特法正交化为?1,?,?r则对任何

k(1?k?r),向量组?1,?,?k与向量组?1,?,?r等价. ( √ )

2. 若向量组?1,?,?r两两正交,则?1,?,?r线性无关. ( √ )

3.n阶正交阵A的n个行(列)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基. ( √ )

4.若A和B都是正交阵,则AB也是正交阵. ( √ ) 5.若A是正交阵, y?Ax,则y?x. ( √ ) 6．若An?nxn?1?2xn?1，则2是An?n的一个特征值. ( × ) 7.方阵A的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n阶矩阵A在复数范围内有n个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A有零特征值的充要条件是A?0. ( √ ) 10.若?是A的特征值,则f(?)是f(A)的特征值(其中f(?)是?的多项式).

2009—2010学年第二学期

课名：线性代数（2学分）

一、填空与选择题(24分)

1、 已知m阶方阵A与n阶方阵B的行列式值分别为a,b,且ab?0,则

?AT?3??00??B?1??1?______(?3)(n?m)b_____________. a?100?1??**?12、 设A?220，其伴随矩阵为A，则?A??____A______.

??6?333???3、 若

3

阶方阵

A满足

A?E?A?2E?A?E?0，则

A2?5A?3E?___-231___________.

4、 已知?1,?2,?3是R空间的一组规范正交基，则2?1??2?3?3?__14__________.

2225、 设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx?ax1?2x2?2x3?2bx1x3，其中b?0，已知A的全体特征

3

值之和为1，全体特征值之积为?12，则a?_1__________，b?___2________. 6、 设A为n阶非零方阵，且A中各行元素都

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ).

?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ).

?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征

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线性代数第五章习题

第五章 相似矩阵及二次型 一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( ) 5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题 ?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ). ?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2 2.

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工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案[1]

线性代数(同济五版)

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第一章

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工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案[1]

第一章 行列式

行列式是研究线性方程组的一个有力工具,本章给出了行列式的定义、性质及其计算方法.

§1 全排列及其逆序数

一、排列及其逆序数定义

对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.

定义1 由n个自然数1,2,?,n组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称为一个n元全排列,简称为排列.

例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.

定义2 在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个逆序（反序）,在一个排列里出现的逆序总数叫做这个排列的逆序数,用?(i1,i2,?,in)表示排列i1,i2,?,in的逆序数.

根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：

设在一个n级排列i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)大的且排在it前

第1页 面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个

数之和就是这个排列的逆序数．即

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)381141102--- 解 3811411

02--- 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644

(2)b a c a c b c

b

a

解 b a c a c b c

b

a

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3

(3)2221

1

1

c b a c b a

解 2221

11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2

(a b )(b c )(c a )

(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y

x y x x y x y y x y x +++

x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3

3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3

2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4

解 逆序数为0 (2)4 1

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同济大学考研 线性代数知识点（十）

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同济大学考研 线性代数知识点（十一）

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