初中四边形辅助线经典例题

四边形 常见辅助线 提高

【题型一】若一个四边形的一组对角为直角，且其中一个直角的两边相等，则可以作两条垂线，可以构造出一个正方形

AMBNC

D其实，这个图也可以看做是把AND旋转以后得到的正方形，

应用举例

1．如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ）

A．2

BB．3 C．

22

D．

23 CAED

发散思维：也可以连接BD，旋转BDC会得到一个什么形？

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ ABC与∠ADC互补.

（1）求∠C的度数；

（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图5上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；

（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值.

ADBC

3．在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF.

(1)若AB=AC，∠BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是（直接写结论）

②如图二，当点D在线段BC的延长线上时

3.1 一般四边形常用的辅助线 1、连对角线构造三角形

【例1】 已知：如图（1），在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,

?B?90?.求四边形ABCD的面积。

分析：由?B?90?，AB=3,BC=4,联想到连结AC，利用勾股定理解得AC=5,又AD=12,CD=13,由勾股定理的逆定理有

?DAC为直角，从而S四边形ABCD?S?ABC?S?ACD 。

解：连结AC，在Rt?ABC中，AC2?AB2?BC2?32?42?25?CD?13,AD?12?AD2?AC2?CD2??ACD是直角三角形，?DAC?90??S四边形ABCD?S?ABC?S?ACD??

2、 延长对边构造三角形

【例2】 如图（2），在四边形ABCD中，

?A?60?,?B??D?90?,BC?2,CD=3,

11AB?BC?AD?AC2211?3?4??12?5?3622则AB等于多少？

分析：?A?60?,?B?90?,如果延长AD、BC即可出现30?角的直角三角形，从而把四边形问题转化为三角形只是解决。

解：延长AD交BC的延长线于点G??ABC?90?,?A?60?又??ADC?90??CG?2CD?6,BG?BC?CG?8在Rt?

特殊平行四边形中的常见辅助线

一、连结法

1. (2014陕西,第9题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ） A． 4

B．

C．

D．5

2. （2015安徽, 第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A．2

B．

3

C．

5

D．

6

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长．

４.（2015山东德州,第20题8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式． 考点： 分析：

反比例函数综合题．.

（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四

边形AEBD是菱形；

（2）

龙文教育学科老师个性化教案

中小学 1 对 1 课外辅导专家 2. (2011 昭通)如图所示， AECF 的对角线相交于点 O,DB 经过点 O,分别与 AE,CF 交 于 B,D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.

3. (2011 徐州)如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分 别为 E,F. (1)求证：△ ABE≌△CDF; (2)若 AC 与 BD 交于点 O,求证：AO=CO.

4. (2011 铜仁地区)已知：如图，在△ ABC 中，∠BAC=90° ,DE、DF 是△ ABC 的中位线， 连接 EF、AD.求证：EF=AD.

5. (2011 泸州)如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，CE∥AB, DE 交 AC 于点 O,且 OA=OC,猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系， 并加以证明.

中小学 1 对 1 课外辅导专家 6. (2010 恩施州)如图，已知， ABCD 中，AE=CF,M、N 分别是 DE、BF 的中点. 求证：四边形 MFNE 是平行四边形.

7. (2009 永州)如图，平行四边形 ABCD,E、F 两点在对角线 BD

中点四边形与原四边形的关系

烟台市祥和中学初春晓2013年7月18日 08:54浏览:89评论:7鲜花:0专家浏览:0指导教师浏览:8

指导教师 刘永渤于13-7-18 09:07推荐充分利用几何画板来进行探究，让学生在小组合作中进行学习，现代教育技术运用得比较好，课标理念运用恰当！

学生小组讨论，学生代表发言。(取原四边形的四边的中点，顺次连接得到的新四边形就满足要求)

像这种顺次连接四边形四边中点的四边形，我们成为中点四边形。那么任意四边形的中点四边形是平行四边形吗？它其 中蕴含着怎样的数学道理？你能用你学过的数学知识解释吗？

【任务】

1

小组合作，探索为什么任意四边形的中点四边形是平行四边形？

2.通过合作探索，找到决定中点四边形形状的因素是什么？ 3. 中点四边形除了是平行四边形外，添加什么条件能使它成为菱形，矩形，正方形？ 4. 我们学过的特殊四边形的中点四边形都是什么形状？

【过程】

活动准备：

小组合作学习参考下列步骤，并提出修改意见，确定本组研究性学习的具体步骤。

活动1．探索任意四边形的中点四边形是平行四边形的原因 建议步骤：

（1） 个人独立完成：在练习本上画出一个任意四边形的中点四边形，并观察你画出的中点四边形是否为平行四边形？

（2） 首先个人

十五、四边形

水平预测

（完成时间90分钟）

双基型

**1.若一个十边形的每个内角都相等，求这个十边形内角的度数。

0**2.一个多边形的内角和与某一个外角的总和等于1350，求这个多边形的边数。

**3.如图15-1，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点G、H，请判

断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=1BG；④SΔABE=3SΔAGE，其中正确的结论有（ ）。 2

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

**4.如图15-2，在ΔABC中，AB=AC，E为AB的中点，以点E为圆心、BE为半径画弧交BC于点

D，连结ED，并延长ED到点F，使DF=DE，连结FC。求证：∠F=∠A。

**5.如图15-3，ABCD的四个内角的平分线相交于E、F、G、H。求证：四边形EFGH为矩形。

纵向型

***6.如图15-4，在ΔABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于点E，AF

⊥CF于点F，直线EF分别交AB、AC于点M、N。求证：（1）四边形AECF为矩形；（2）MN=1BC。

2

***7. 如图15-5，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形

第十八章 平行四边形

18.1.1 平行四边形的性质

第一课时 平行四边形的边、角特征 知识点梳理

1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。 2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。 3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。 知识点训练

1．(3分)如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．

2．(3分)如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

3．(3分)在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.

4．(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.

5．(4分)在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝ ；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝ ．

6．(4分)(2014·福州)如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD

十五、四边形

水平预测

（完成时间90分钟）

双基型

**1.若一个十边形的每个内角都相等，求这个十边形内角的度数。

0**2.一个多边形的内角和与某一个外角的总和等于1350，求这个多边形的边数。

**3.如图15-1，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点G、H，请判

断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=1BG；④SΔABE=3SΔAGE，其中正确的结论有（ ）。 2

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

**4.如图15-2，在ΔABC中，AB=AC，E为AB的中点，以点E为圆心、BE为半径画弧交BC于点

D，连结ED，并延长ED到点F，使DF=DE，连结FC。求证：∠F=∠A。

**5.如图15-3，ABCD的四个内角的平分线相交于E、F、G、H。求证：四边形EFGH为矩形。

纵向型

***6.如图15-4，在ΔABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于点E，AF

⊥CF于点F，直线EF分别交AB、AC于点M、N。求证：（1）四边形AECF为矩形；（2）MN=1BC。

2

***7. 如图15-5，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形

经典四边形习题

1、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD _ D_ C平分∠ABC交EF于G，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD的周长。

_ G _ E_ F _ A_ B

2、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。 _ D_ C _ E_ F _ O

_ H_ G

_ A_ B

_ A_ D3、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E

若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，

_ E使S?ABC=S?EBF，求证：DF∥AC。

4、在正方形ABCD中，直线EF平行于 对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F， 在DA的延长线上取一点G，使AG=AD， 若EG与DF的交点为H，

求证：AH与正方形的边长相等。

5、若以直角三角形ABC的边AB为边， 在三角形ABC的外部作正方形ABDE，

AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。

6、正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线 上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交

_ A_ D四边形经典例题50道

1．已知：在矩形ABCD中，AE?BDA_ 于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。

_ E_ B

_ 2．已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a A且∠BCD=60?，E、F分别为梯形的腰AB、 DC的中点，求：EF的长。

_ E

_ D

行边的一边BC的延长线上取一点F，S?ABC=S?EBF，求证：DF∥AC。

_ E使

_ B_ F_ C_ O

_ C

_ D_ A_ 8、在正方形ABCD中，G直

_ D线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延

_ E长线上取一点G，使AG=AD， _ F_ H若EG与DF的交点为H，求证：AH与正

_ B_ C_ F

方形的边长相等。 _ C_ B

_ D_ C

3、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，

AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点， _ G_ _ FBD平分∠ABC交EF于G，EG=18，E_ G

_ EGF=10求：等腰梯形ABCD的周长。

AB为_ A_ 9、若以直角三角形ABC的边B

_ D边，在三角形ABC的外部作正方形 _ E

_ FA使AABDE，AF是BC边的高，延长

AG