高等代数第一章行列式

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§1.4

行列式按行(列)展开 a1n a2n 则 a nn

a11 a12 a a 设 D 21 22 a n1 a n 2

D i j a i1 A j1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 i j D i j a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0 i j

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11

第一章 行列式

一、教学目的：掌握行列式的概念；

熟练掌握行列式的性质及计算方法； 利用克莱姆法则解线性方程组。

二、学时分配：

三、重点、难点：熟练运用行列式的性质，掌握行列式计算的方法 四、作业：

§1 n阶行列式

定义：一阶行列式就是元素自身，当n>1时规定n阶行列式为： |a11|?a11，

a11a21?an1a12a22?an2?a1n??ann??aijAij j=1,2,?，n;

j?1n?a2na11a12a22?an2?a1n???aijAij j=1,2,?，n;

i?1n或

a21?an1?a2n?ann

其中Aij?(?1)i?jMij称为元素aij的代数余子式；Mij是从n阶行列式中划去aij的所在的行和列得到的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式。

按此定义计算行列式的方法通常称为拉普拉斯（laplace）展开法，可以简述为：n阶行列式等于任一行（列）元素与其代数余子式乘积之和。

例1 计算对角形行列式

1

a1a2?ana1和

ana2?

其中未写出的数都是零。

解：依行列式的定义，按第一行依次展开，

a1a2?ana1a2?an?(?1)(n?1)?n???3a1a2?an ?(?1)n(n?

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§1.4

行列式按行(列)展开 a1n a2n 则 a nn

a11 a12 a a 设 D 21 22 a n1 a n 2

D i j a i1 A j1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 i j D i j a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0 i j

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11

第一章 行列式1.3 克莱默(Cramer)法则 克莱默(Cramer)法则

如何求解一个n元一次线性方程组？ 如何求解一个n元一次线性方程组？ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 , m 和n不一定相等。 不一定相等。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm 特别的当 m = n时，方程组为

a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 。 L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn xn = bm

a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 设非齐次线性 线性方程组 定理 设非齐次线性方程组 LLLLLLLLLLL 或简记为 a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn n

克拉默(Cramer)法则 克拉默(Cramer)法

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc111xyx?yx?yx. （1）1?4?1； （2）bca; （3）abc； （4）y?183caba2b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)

?183=?24?8?16?4=?4

abc333（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc?3abc?a?b?c

cab

111222222（3）abc?bc?ca?ab?ac?ba?cb?(a?b)(b?c)(c?a)

a2b2c2

xyx?yx?yx?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 （4）yx?yxy?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3

??2(x3?y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2

第一章行列式

问题与背景 中学我们就学过解二元一次方程组、三元一次方程组。我们

能不能得到一个求解二元一次方程组、三元一次方程组等n元线性方程组的公式呢？

我们先从二元一次方程组入手。利用加减消元法，我们很容易得到二元一次方程组

?a11x1?a12x2?b1 ?ax?ax?b2222?211b1a22?a12b2?x??1aa?aa?11221221的解 ?

?x?a11b2?b1a212?a11a22?a12a21?大家一定疑惑，这么容易就能得到的公式，为什么以前不讲呢？问题是这个公式很难记住。一个公式如果很难记住，它的作用自然不能很好地发挥。只要我们引入行列式的概念，改变一下这个公式的形式，这个公式就很容易记住，上面的公式就求活了。

1.1 二阶、三阶行列式

一、二阶行列式

我们用记号

a11a12a21a22表示代数和a11a22?a12a21，称为二阶行列式，即

a11a21a12?a11a22?a12a21a22

二阶行列式表示的代数和，可以用对角线法则的方法记忆

1

例1

5?1?5?2?(?1)?3?13。 32例2 设D??2?31。

问：（1）当?为何值时D?0。（2）当?为何值时D

第一章 n阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243 2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143 3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142 4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,?,pn构成的不同排列有n!种． 解 在n个元素中选取1个 n种取法 在剩余n?1个元素中选取1个 n?1种取法 在剩余n?2个元素中选取1个 n?2种取法 ?????? ???? 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 -----------

n级行列式的性质质性行列1互，换列行不式变即D′,=D性。2质列式某行(列)元素行公因子的可提行到列式符之号外。性3质若行列式的某一行列)(元的素是两数都之和则该行，式可表为列个两新行列式和。之性4质如行果式中有两列(列)相行，那么同行列为式。零性 5质行列式中行(两列成)比例则，列式为零。行性 6质把行式的列一某(列行)倍的数加到一另行(列)行列，式变不。性质7对换列行中两式行()位置列，行式列反。s号iuabhnincu.@duec.n昌南学大理学院数学系

算计行式列常方法用1()利用义定2()利用列行的性质式化为三角形行列式( 3)行列按行(列式展开)原则(4)递推法 ( 5)数归纳学法 6( )每行为和数，列常加相再，取公提子因 7) (相两邻依次行相减，化行简式列()利用已8有结论的9()镶边法ishubinanc@u.duec.n南昌大理学院数学系学

课堂

练习、1计行列式算1 1 2 3 3 3 17 9 D5 2=04 2 13 5 7 1 46 4 4 1 01 02siuabhnin@cu.eud.nc南大学理学院昌数学系

:

1解 1 2 33 7=D 20 4 3 75 4 4 1100 1 02 1

3 1

练习一 行列式的概念、基本性质

一、 多项选择题

1. 下列行列式中（ ）的值必为零。

（A）行列式中有两行对应元素之和与另一行元素对应成比例。 （B）行列式中有两行对应元素之和为零。 （C）行列式中有两行含有相同的公因子。 （D）行列式中有一行与另一列对应元素成比例。

2. 设Aij?i,j?1,2,3?是三阶行列式中元素aij的代数余子式，则（ ）时，a13A1j?a23A2j?a33A3j?0

（A）j?1 （B）j?2 （C）j?3 （D）j?1或j?2

a11a31a12a32a13a334a114a312a11?a122a31?a32a13a333. 如果D?a21a22a23?1，则D1?4a212a21?a22a23等于（ ） （A）8 （B）?12 （C）24 （D）?4

k?124．?0的充要条件是（ ）

2k?1（A）k??1 （C）k??1且k?3

（B）k?3 （D）k??1或k?3

5. 下列行列式中值必为零的有（ ）

0a（A）

2010智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数（第一章 行列式）

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序

本书吸取了目前市面上绝大部分优秀考研数学辅导资料的精华，近年来，得到了全国广大学子的高度认可，其使用效果尤其受到2009考生的推崇。这是一本含金量较高、适应国家命题数学1-3类和农学类数学及各校自主命题的数学甲乙AB的考研全面基础延展复习与综合强化提高的复习全书。

作者系统地总结了原创性秘技，采用了形象记忆法等先进教育心理学理念，有意识训练读者的数学思维惯性和条件反射；对三基的延拓系统完整；同时，奉献了读者渴望的评注，蛰伏5年成书；2010版在2009版基础上，根据全国广大读者的建议和教育部新的趋向，对相关内容作了大篇幅修改和完善。主要包含下列方面：

1．根据使用2009版考生的建议和提出的不足，精心审阅笔误和校对各知识点的叙述方式。

2．把原有的例题，按照题型全部重新整编分类，并总结系统的解答方法。

3．删除原有的难度较大、而考研命题相关性不紧密的例题，增加2010的新的变式和预测题型。

4．进一步吸收了我国新出台的优秀辅导资料的精髓，增加了新的技巧和方法。

5．增删了章节后的模拟练习题，并给出了难题的详细解析。

6．对部分题例的解析更