含绝对值的方程和函数

函数问题,绝对值,分类讨论,数形结合,推理与论证的逻辑思维能力

含绝对值的函数问题处理

1.（2005年江苏卷）已知a∈R，函数f(x)=x2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：f(x)=x

2

2ìïx(x-2),x 2ï, x-2=í

ï-x2(x-2),x<2ïî

①当x≥2时，有x2(x-2)=x,解得x=0或x2-2x-1=0,

解得：x1=1+取x1=1+

x2=1-

，

2

x<2时，有-x(x-2)=x,解得:x=0或x=1．

综上所述，当ａ=2时能使ｆ(ｘ)=ｘ成立的ｘ的集合为｛0，1

，1+(II)对函数式进行分解得：f(x)=x

2

2ìïx(x-a),x a

x-a=ïí

ï-x2(x-a),x<aïî

｝

2a2

, ①当x≥a时，设f1(x)=x2(x-a),则f1¢(x)=3x-2ax,得极值点x=0或x=

3

a. 当a<0时,函数f(x)在区间çç-ト,

第一章（第4课时） 1.2 绝对值

教学目标

1 理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值

2 通过观察、比较、归纳得出绝对值的概念，感受数形结合的思想。 重点难点：

重点：绝对值的意义和求一个数的绝对值； 难点：绝对值概念的理解 教学过程

一 激情引趣，导入新课

1 什么叫相反数？相反数有什么特点？

2 如图，学校位于数轴的原点处，小光、小明、小亮的家分别位于点A、B、C处，单位长度为1千米，（1）小光、小明、小亮的家分别距学校多远？（2）如果他们每小时的速度都是3千米，求三人到学校分别需要多少时间？

AB-2-101234C5

二 合作交流，探究新知 1 绝对值的概念

-5-4-3 （1） 上面问题中，我们要求三人与学校的距离，和三人到学校的时间，这与方向有关吗？

（2） 上面问题中，A、B、C三个点在数轴上分别表示什么数？离原点的距离是多少 归纳：在数轴上，表示一个数的点离开原点的距离叫做这个数的__________.

如：2的绝对值等于2，记作：2=2，-2的绝对值等于___,记作：____________________ 考考你：

把下列各数表示在数轴上，并求出他们的绝对值。 -4、3.5、-2

1，0、-3.5，5 2-5

初一数学超前班

第2讲 绝对值

7 年级

知识总结归纳

一. 绝对值的定义

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

?a,(a?0)?a,(a?0)?a,(a?0)?a??0,(a?0)或a??或a??

?a,(a?0)?a,(a?0)????a,(a?0)?二. 绝对值的几何意义

a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作a．

三. 去绝对值符号的方法：零点分段法

（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即a?0，a?0还是a?0）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．

（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把

这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．

四. 零点分段法的步骤

（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．

五. 含绝对值的方程

（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解． （2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类

湘教版1.2.3绝对值导学案

1.2.3绝对值导学案

班级： 姓名：

学习目标：

1．借助数轴，理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。

2. 通过数形两个方面，理解绝对值的意义，了解数形结合的思想方法 学习重点难点：

理解绝对值的概念和求一个数的绝对值

学习过程

一． 知识链接

1．在数轴上分别标出–5, 3.5 0 及他们的相反数所对应的点。

2. 在已画数轴上找出与原点距离等于6的点。 二． 探究新知

问题一：两辆汽车从同一处O出发，分别向东西行驶10km到达A .B两处，若规定向东为正，则：A处记做 ； B处记做 。 1) 在数轴上标出 A B 的位置

2）两车行驶路线相同吗？它们行驶的路程远近相同吗？在实际生活中距离是不是与方向无关？ 3）在数轴上表示﹣5的点到原点的距离是；在数轴上表示﹢5的点到原点的距离是

如果说﹣5和﹢5纳一下什么是绝对值？

归纳总结； 记作 读作：三． 深度记忆 强化新知

１． ４的绝对值指在数轴上表示

高考数学中的绝对值问题

绝对值是高中数学中的一个基本概念，“绝对值问题”历来是高考中经常涉及的问题，可谓常考常新，与函数、导数、数列、不等式证明等知识交汇相结，成为高考的“新宠”。特别是“绝对值”问题为背景与初等函数结合所构成的综合题。由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题方法上具有灵法多变，还需要利用数形结合、分类讨论、绝对值不等式的放缩等数学思想，对考生的综合知识能力要就求较高，成为考生之间拉分的重要题型之一。今天只对与函数、不等式结合的绝对值问题的几道例题略作分析，供同学们思考。

一、知识储备：

（1）绝对值概念、绝对值的非负性、几何意义、绝对值的函数图象等。 （2）各类绝对值不等式的解法。

（1）x?a??a?x?a(a?0)； （2）x?a?x?a或x??a(a?0)； （3）|f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)；

(4) |f(x)|?g(x)?f(x)??g(x)或f(x)?g(x)． （3）绝对值三角不等式：

||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，及其左右两个等号各自成立的条件。 二、例题：

例1、已知a,b,c?R函数f(x)?ax2?bx?c，g(x)?ax?b，

当x?[?

第一篇：2.3绝对值教案

绝对值（1）

学习目标:

1、能借助数轴初步理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值。

2、正确理解绝对值的代数意义和几何意义，渗透数形结合与分类讨论思想。 重点和难点：理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。

学习过程：

任务一、复习旧知：

1. 什么叫互为相反数？在数轴上表示互为相反数的两点和原点的位置关系怎样？

2. 数轴上与原点的距离是2的点表示的数有_____个，他们表示的数是_____;与原点的距离是5的点有____个. 任务二、新知理解：

1. 自读课本p11-p12,体会绝对值的意义。

绝对值的几何意义：____________________________________.

a的绝对值记作_______,如5的绝对值记作______,结果是_____.

试一试: （1）|+6|＝ ______，|0.2|＝ ________ ， |+8.2|=_______

（2）|0|＝ _______ ；

（3）|-3|＝_____，|-0.2|＝ _____ ，|-8.2|＝________.

绝对值的代数意义：(1)一个正数的绝对值是__________;

(2)一个负数的绝对值是___________ (3)0的绝对值是__________

上海鸿文职业高级中学教案

解集的错误.

不等式 的教学 目标.

【练习】解下列不等式：1 (1) x 5 ; 2

让同学在下面自己做一 下

(2) x 7 解：画出数轴

1 1 (1) x 5 x 5 2 2 (2) x x 7或x 7 【设问】如果在 x 2 中的 x 换成 x 5 ,也就是

在将x 5

看成一 个整体 的关键

x 5 2 怎样解？【点拨】 可以把 x 5 看成一个整体， 也就是把 x 5 看成 x ,按照 x 2 的解法来解.

处点 拨、启 发，使

x 5 2 2 x 5 2 3 x 7

学生主 动地进 行练 习.

所以，原不等式的解集是

x

3 x 7

【设问】如果 x 2 中的 x 是 3 x +1 ,也就是

继续强 化将3 x +1

3x+1 2 怎样解？【点拨】 可以把 3 x +1 看成一个整体， 也就是把 3 x +1 看成 x ,按照 3x+1 2 的解法来解.

看成一 个整体 继续强

3x+1 23 x +1 2 ,或 3x +1 2 ,

化解不 等式

3x+1 2时不要 犯3x +1 2

由 3 x +1

让更多的孩子得到更好的教育

绝对值与相反数（提高）

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

? ? ? ?

借助数轴理解绝对值和相反数的概念；

知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

学习策略：

? ?

理解并能在数轴上正确表示正负数；

练习并认识在数轴上两个数的大小、正负跟它们在数轴上位置的关系．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1．整数包括 、 和 ． 2．数轴的三要素是 、 、

上联：凤落梧桐梧落凤。 原对：珠联璧合璧联珠。 吾联：舟随浪潮浪随舟。

上联：曲溪曲曲龙戏水。 下联：陇埔陇陇凤簪花。 上联：松叶竹叶叶叶翠。 下联：秋声雁声声声寒。 上联：龙怒卷风风卷浪。 原对：月光射水水射天。 吾联：山色倒海海倒天。 上联：风声水声虫声鸟声梵呗声，总合三百六十天击钟声，无声不寂。 下联：月色山色草色树色云霞色，更兼四万八千六峰峦色，有色皆空。

上联：花花叶叶，翠翠红红，惟司香尉着意扶持,不教雨雨风风，清清冷冷。

下联：蝶蝶鹣鹣，生生世世,愿有情人都成眷属，长此朝朝暮暮，喜喜欢欢。清】刘树屏题的愚园花神阁联。 上联：山羊上山，山碰山羊足，咩咩咩。下联：水牛下水，水淹水牛角，哞哞哞。

新联：花猫戏花，花迷花猫眼，喵喵喵。 上联：狗牙蒜上狗压蒜。 下联：鸡冠花下鸡观花。

上联：佳山佳水佳风佳月，千秋佳境。 下联：痴声痴色痴梦痴情，几辈痴心。【明】太祖赐金陵秦淮河联。 上联：普天同庆，庆的自然，庆庆庆，当庆庆，当庆当庆当当庆。 下联：举国若狂，狂到极点，狂狂狂，懂狂狂，懂狂懂狂懂狂懂。

上联：佛脚清泉飘，飘飘飘，飘下两条玉带。 下联：源头活水冒，冒冒冒，冒出一串珍珠。

上联：扒扒扒，扒扒扒，扒扒扒，扒到

苏科版七年级数学上册2.4绝对值与相反数(3)

2.4绝对值与相反数(3)

一、学习目标：能说出一个数的绝对值与相反数的意义；会求已知数的绝对值与相反数；会

用绝对值比较两个负数的大小；经历将实际问题数学化的过程，感受数学与

生活的关系．

二、学习重点：一个数的绝对值与相反数的意义；求已知数的绝对值与相反数；用绝对值比

较两个负数的大小．

学习难点：绝对值与相反数的意义．

三、教学过程：

【自主学习】

1、说出绝对值的几何含义

2、互为相反数的2个数在数轴上有什么位置关系

3. 根据绝对值与相反数的意义填空：

7 4_________,6 _________； （1）2.3 _______，

（2） 5 _______， 5的相反数是_______， 10.5 _________， 10.5的相反数是

_______，

77 0 4_________， 4的相反数是________；（3）_______．

议一议：一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系？

用符号表示为 |a|=

例1. 求下列各数的绝对值：

7 0. 6， π， 3， 2.，

探索活动：

议一议 两个正数中，绝对值大的那个数一定大吗？两个负数呢？

小结：

例2 比较 9.5与 1.7