概率论五六章总结

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概率论五六章习题详解(王志刚版)

标签:文库时间:2025-02-14
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概率论与数理统计 习题五

1 .已知E(X)?1,D(X)?4,利用切比雪夫不等式估计概率

P?X?1?2.5?.

解: 据切比雪夫不等式

?2P?X??????1?2

?4P?X?1?2.5??1?2

2.59? . 252.设随机变量X的数学期望E(X)??,方程D(X)??,利用切比雪夫不等式估计P?|X??|?3??.

解:令??3?,则由切比雪夫不等式

2P?|X??|?3???D(X) , 有 ?2?21P?|X??|?3????. 2(3?)93. 随机地掷6颗骰子,利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率.

解: 设X为6颗骰子所出现的点数之和;

Xi为第i颗骰子出现的点数,i?1,2,,6,

则X??X,且X,X,...,Xii?16126独立同分布,

分布律为:

1

?12?11???6666??1?,于是 ?6?17E(Xi)??k??

62k?1191E(X)??k??

66k?12i26所以D(Xi)?E(Xi)?E(Xi)

229149?? 6435? ,i?1,2,,6 127因此 E(X)??E(Xi)?6??21

2i?1D(X)??D(Xi)?6?i?16635 1235? 2故

概率论与数理统计总结之第六章

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第六章 样本及抽样分布 总体与个体:

我们将试验的全部可能的观察值称为总体,这些值不一定都不相同,数目上也不一定是有限的,每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量,若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量,则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F(或总体F、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本,它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值,又称为X的n个独立的观察值

由定义得:若X1,X2,…,Xn为F的一个样本,则X1,X2,…,Xn相互独立,且它们的分布函数都是F,所以(X1,X2,…,Xn)的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f,则(X1,X2,…,Xn)的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,^,x

概率论与数理统计总结之第六章

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第六章 样本及抽样分布 总体与个体:

我们将试验的全部可能的观察值称为总体,这些值不一定都不相同,数目上也不一定是有限的,每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量,若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量,则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F(或总体F、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本,它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值,又称为X的n个独立的观察值

由定义得:若X1,X2,…,Xn为F的一个样本,则X1,X2,…,Xn相互独立,且它们的分布函数都是F,所以(X1,X2,…,Xn)的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f,则(X1,X2,…,Xn)的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,^,x

概率论期中总结

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Chapter 1 Introduction to Probability

1.3 Experiments, Events and Sample Space

? Types of Experiments ? The Sample Space The collection of all possible outcomes of an experiment is called the sample space of the experiment.

1.4 The Definition of Probability

? Axiom and Basic Theorems A?S, Pr(A) indicates the probability that Awill occur. A1. For every event A, Pr(A)?0. A2. Pr(S) = 1.

A3. For every infinite sequence of disjoint events A1, A2, . ..

??Pr(?Ai)?i?1?Pr(A)

ii?1Theorem ? Pr(?) = 0.

? For every finite sequence of n

概率论公式总结

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概率论与数理统计

第1章 随机事件及其概率

加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时,P(B)=1- P(B) 乘法公式:P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有 减法公式 乘法公式 P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立,且P(A)?0,则有 独立性 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) 全概公式 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 P(B

概率论

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马鞍山师专数学教研室(韩海燕) 概率论与数理统计的起源和发展

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445-1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们一起研究了默勒提出的关于骰子赌博的问题,于是,一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

三年后,也就是1657年,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题,结果写成了《论机会游戏的计算》一书,这就是最早的概率论著作。

在概率问题早期的研究中,逐步建立了事件、概率和随机变

量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题,如:人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法,均促进了概率论

概率论知识点总结

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概率论总结

目 录 一、 前五章总结

第一章 随机事件和概率 …………………………1 第二章 随机变量及其分布……………………….5 第三章 多维随机变量及其分布…………………10 第四章 随机变量的数字特征……………………13 第五章 极限定理………………………………...18 二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20

一、前五章总结 第一章 随机事件和概率

第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。

在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。

不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集

一个

概率论答案

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习题二答案

1.随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别?

答:随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律,不管是连续型、离散型或既不是连续型,也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律;而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律;密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律,可通过求概率

(x取任意的值)求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导,即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

(对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解:由题意X的正概率点为2,3,?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解:

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解:X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

概率论论文

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浅谈正态分布

摘要:正态分布又名高斯分布,是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。它概率论中最重要的一种分布,也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布,其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小,分布越集中在均值附近。其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。 关键词:高斯分布、概率分布、钟形曲线 一.正态分布的由来

正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布。在高斯刚作出这个发现之初,也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性,其全部影响还不能充分看出来。拉普拉斯很快得知高斯的工作,并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来,指出如若误差可看成许多量的叠加,根据他的中心极限定理,误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。[1]

拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义,在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信

概率论1.1概率论随机事件及其运算

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《概率论》课后练习(一)

第一章§1-1随机事件与概率

班级 姓名 座号 成绩

一.填空题(每空1.6分,共计8分)

1.一份试卷上有6道题。某学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。现观察该学生做完试卷他答对的题数,则样本空间??____________________。

2.十件产品中三件次品,每次从中取1件(不放回抽样)直到将三件次品都取出,记录抽取到的正品数;则样本空间??_______________ 。

3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球,在其中任取出4 只,观察它们具有颜色的种数。则样本空间??______________________。

4..设某人向靶子射击3次,用 Ai表示“第i次射击击中靶子” (i?1,2,3),试用语言描述下列事件:(1)A1?A2?A3 (2) A1?A2 二. 单项选择题(每小题2,共计8