阿贝尔和狄利克雷收敛定理证明

为证明定理本身，我先证明几个引理。

引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[??,?]上可积，则有

a02?1??(an2?bn2)??f2(x)dx 2n?1???a02m??(ancosnx?bnsinnx) 证明：设Sm(x)?2n?1??2??2?显然：?[f(x)?Sm(x)]dx??????f(x)dx?2?f(x)Sm(x)dx??????Sn2m(x)dx (*)

a其中，?f(x)Sm(x)dx?02???????f(x)dx??(a??f(x)cosnxdx?b??f(x)sinnxdx)

nn?1??m???由傅立叶级数系数公式可以知道：

????2?f(x)Sm(x)dx??2a0???(an2?bn2)

2n?1mma02m?2222S(x)dx?[?(acosnx?bsinnx)]dx?a??(a?b??mnn0nn) ??2n?12n?1????以上各式代入(*)式，可以得到：

??20????[f(x)?Sm(x)]dx?另

???f(x)dx??22?2a0???(an2?bn2)

2n?1m?2a0???(an?bn)?22n?1m???f2(x)dx

这个结果对于?m?N均成立，而右端是一定积分可以

各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。

一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．

状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对

温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。

只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。

费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】

第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．

， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。

第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。对于本征半导体，E f 处于禁带

1

无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能

《克雷洛夫寓言》考级试题

1、《乌鸦与狐狸》一文中，狐狸从乌鸦的嘴里骗到了什么？( B ) A. 肉 B. 奶酪 C. 香蕉 D. 月饼

2、风越刮越大，雨越下越急。雨过天晴后，哪种植物再也无法站立？( C ) A. 芦苇 B. 小草 C. 橡树 D. 竹子

3、伊凡·安德列耶维奇克雷洛夫是哪个国家的人？( B ) A. 中国 B. 俄国 C. 英国 D. 美国

4、克雷洛夫是世界上杰出的( B )作家之一。 A. 童话 B. 寓言 C. 小说 D. 诗歌

5、神像不再显灵的原因是( B )。 A. 祭司是个聪明人 B. 祭司是个傻蛋 C. 祭司是秘书 D. 祭司是法官

6、在《狼与小羊》这个故事中，狼要吃掉小羊的理由编了( D )条。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

7、人们都拥挤到海边，眼巴巴地望着大海，一声不响等待着奇迹发生，这是在因为( C )。

A. 在海将被烧干，大家好奇。

B. 大海里有许多宝贝大家争着来拿。 C. 因为山雀大吹牛皮，把大家骗了。 D. 有丰盛的鱼汤美餐，可以尝尝。

8、猴子配了眼镜，视力为什么还是

毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式,费尔马大定理是一个正确的定理。

论毕达哥拉斯定理和费尔马大定理的美妙证明

沙寅岳

（ 浙江大学 宁波理工学院 东灵工程技术中心 ）

（中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室，邮编：315131）

E-mail: shayinyue@http://www.77cn.com.cn 摘 要： 本文采用公式展开和消项的方法，轻而易举地给出了勾股定理（毕达哥拉斯定理）的通解公式，进而给出了二组勾股定理的基本数组，这些数组在勾股定理中具有基础性的地位。 关键词：勾股定理，毕达哥拉斯定理，费尔马大定理，互质数，正整数解。

中图分类号：O156.1

1.勾股定理的研究历史

对于如何求得勾股方程x2 y2 z2的正整数解（即勾股数组），古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的数学公式．它们分别是：

2毕达哥拉斯公式：x 2n 1，y 2n2 2n，z 2n 2n 1（其中n 1,n N）．

2柏拉图(Plato) 公式：x 2m，y m2 1，z m 1（其中m 2,m N）．

欧几里得(Euclid) 公式：x

并且m,n为完全平方数)． mn ，y 12(m n)， z 12(m

毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式,费尔马大定理是一个正确的定理。

论毕达哥拉斯定理和费尔马大定理的美妙证明

沙寅岳

（ 浙江大学 宁波理工学院 东灵工程技术中心 ）

（中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室，邮编：315131）

E-mail: shayinyue@http://www.77cn.com.cn 摘 要： 本文采用公式展开和消项的方法，轻而易举地给出了勾股定理（毕达哥拉斯定理）的通解公式，进而给出了二组勾股定理的基本数组，这些数组在勾股定理中具有基础性的地位。 关键词：勾股定理，毕达哥拉斯定理，费尔马大定理，互质数，正整数解。

中图分类号：O156.1

1.勾股定理的研究历史

对于如何求得勾股方程x2 y2 z2的正整数解（即勾股数组），古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的数学公式．它们分别是：

2毕达哥拉斯公式：x 2n 1，y 2n2 2n，z 2n 2n 1（其中n 1,n N）．

2柏拉图(Plato) 公式：x 2m，y m2 1，z m 1（其中m 2,m N）．

欧几里得(Euclid) 公式：x

并且m,n为完全平方数)． mn ，y 12(m n)， z 12(m

学习目标: (1)理解什么是定理和证明. (2)知道如何判断一个命题的真 假.

学习重点: 理解证明要步步有据.

问题1 请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些 是假命题？

(1)在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行 线中的一条，那么也垂直于另一条； (2)如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3)如果 a b ,那么a=b; (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行； (5)两点确定一条直线.

1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践 中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 真命题叫做定理。

公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。

定理问题1中的(1)(4)(5)它们的正确性是经过推 理证实的，这样得到的真命题叫做定理(theorem). 定理也可以作为继续推理的依据. 问题2 你能写出几个学过的公理和定理吗？

公理举例： 1、直线公理： 经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。 3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与

《克雷洛夫寓言》课外阅读题

1、《乌鸦和狐狸》一文中，狐狸从乌鸦的嘴里骗到了什么？( ) A. 肉 B. 奶酪 C. 香蕉 D. 月饼

2、风越刮越大，雨越下越急。雨过天晴后，哪种植物再也无法站立？( ) A. 芦苇 B. 小草 C. 橡树 D. 竹子

3、伊凡·安德列耶维奇克雷洛夫是哪个国家的人？( ) A. 中国 B. 俄国 C. 英国

D. 美国

4、克雷洛夫是世界上杰出的( )作家之一。 A. 童话 B. 寓言 C. 小说 D. 诗歌

5、神像不再显灵的原因是( )。 A. 祭司是个聪明人 B. 祭司是个傻蛋 C. 祭司是秘书 D. 祭司是法官

6、在《狼和小羊》这个故事中，狼要吃掉小羊的理由编了( )条。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

7、人们都拥挤到海边，眼巴巴地望着大海，一声不响等待着奇迹发生，这是在因为( )。

A. 在海将被烧干，大家好奇。

B. 大海里有许多宝贝大家争着来拿。 C. 因为山雀大吹牛皮，把大家骗了。 D. 有丰盛的鱼汤美餐，可以尝尝。

8、猴子配了眼镜，视力为什么还是模糊？( ) A．眼镜质量有问题 B．猴

8《量子力学》自学辅导之八——狄拉克符号和占有数表象

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《量子力学》自学辅导之八

—狄拉克符号和占有数表象曾心愉”,

4

宋宇辰

’4

裴文杰 5 4,

,

4

复旦大学物理系 6

复旦大学理论物理骨干教师班

上海

5

7

狄拉克符号对量子体系的描述们都有一个共同的特点,,

、 9、 0了 80 9、矛既可采用波动力学的方法0

9

,

又可采用矩阵力学的方法0

但不论采取什么形式,

,

时价二?成…嵘: 3,,

,

,

,

…

一

艺泌

3

。

? 4

它

即与体系有关的所有信息都波函数可写成,

将由波函数给出

而且极为重要的是0

各类力学量的本征函数的线性组合平方具有力学量概率的意义于是

而展开系数模的人们抓住事物的

。,注意:必沙护沙价奋方0 0

,

狄拉克符号的引入0

0

对于态空间中少与沙0

十

,

本质而思索这样的问题系,

:

能否不从单一角度去描述体,

从形式上看具有明显的不对称性

狄拉克认为它们应0

而用统一的方式全面地概括体系的所有性质及概构造了一个抽象的一“、

该分属于两个不同的空间引人符号>Β用>妙Β表示,,

这两个空间叫做伴随空间0 0

念;狄拉克从数学理论方面般的矢量、0

称为右矢

微观体系的任一状态妙,

捷灵活地

第五章 相交线与平行线

5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明(1)

创设情境 引入新知

问题情境一：下列语句在表述形式上，哪些是 对事情作了判断？(1)对顶角相等. √ (2)画一个角等于已知角. (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角 互补. √ (4)a、b两条直线平行吗？ (5)如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行. √ (6)等式两边加同一个数，结果仍是等式. √

归纳新知 形成概念

—命题一、命题的概念判定一件事情的语句，叫做命题. 问题： (1)你能举出1 ~ 2个命题的例子吗？ (2)你能发现命题在结构上的共同特征吗？

归纳新知 形成概念

—命题二、命题的构成命题由题设和结论组成. 题设是已知项， 结论是由已知项推出的事项.

例如， 两直线平行，同位角相等.题设 结论

归纳新知 形成概念

—命题三、命题的书写形式数学中的命题常可以写成“如果 那么 ”的形式，这时“如果”后接的部 分是题设，“那么”后接的部分是结论. 例如， “两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补”可以写成 “如果两条直线被第三条直线所截， 那么同旁内角互补”.

创设情境 引入新知

命题 “对顶角相 等”是假命 下列语句是命题吗？它们的共