曲线积分的对称性

浅谈定积分的对称性

周莉 学号:09003035

（巢湖学院数学系 安徽 巢湖 238000）

摘 要：定积分在积分学中占有非常重要的位置，而且它的计算相对来说比较的麻烦，所以为了使定积分的有关计算变得简单一点，我们需要用到定积分的一些性质。本文在原有的学习的相关知识的基础上，归纳总结了对称性在积分运算中的应用，同时也给出了对称性在定积分以及二重积分运算中的有关定理、推论和一些应用。在本文中充分地体现了在积分运算中定积分的对称性所带来的方便，使其达到了简化积分运算的目的。这个对于积分运算的解答和数学理论的研究来说，都有着非常重要的意义。

关键词：定积分；对称性；奇函数；偶函数

On the Symmetry of the Definite Integral

Zhou Li StuNo:09003035

（Department of Mathematics,Chaohu college, Chaohu Anhui 238000）

Abstract: The definite integral in the integral calculus occupied a very important position, and its calcul

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

第１０卷第１期２０１０年１月１６７１—１８１５（２０１０）１－０１７２—０４

科学技术与工程

ＳｃｉｅｎｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

Ｖ０１．１０⑥２０１０

Ｎｏ．１

Ｊａｎ．２０１０

Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．

对称性在定积分及二重积分计算中的应用

薛春荣

王

芳

（渭南师范学院数学系，渭南７１４０００）

摘要

运用数学分析中的积分总结了对称性在积分运算中的应用，给出了对称性在定积分、二重积分运算中的有关定理以

及应用；充分体现了对称性在积分运算中带来的方便，达到了简化积分运算的目的。这一点对于数学理论的研究及积分运算的解答都有重要意义。关键词

对称性

定积分

二重积分

中图法分类号０１７２．２；文献标志码Ａ

积分在数学分析中有很重要的地位；积分的计算方法有许多种，相关文献都对其有探讨，但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义，通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。

，．ｏ

肪圳戈＝厂∥圳戈＋取圳戈＝

舢

，．ｏ

．，ｏ

ｆ八一右）ｄ（一右）＋ｆ八戈）ｄｘ＝

．，Ｏ

肛州右＋肛州戈。

，．ｏ

１相关定理及证明

定理１

ｕ。

所以：．Ｊ一疆戈）出＝２．Ｊ∥戈）毗

函数的对称性

一、选择题 1 ．如果函数y?nx?1的图象关于点A(1,2)对称,那么

（ ）

2x?pA．p=-2,n=4 B．p=2,n=-4 C．p=-2,n=-4 D．p=2,n=4

【答案】A

2 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）函数

f?x?对任

意x?R都有f?x?6??f?x??2f?3?,y?f?x?1?的图象关于点?1,0?对称,则

f?2013??

A．?16

B．?8

C．?4

D．0

【答案】D

3 ．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）已知函数

f(x)?x?1?x?a的图像关于点(12,0)对称,则a=

A,1 B,-1 C,2 D,-2 【答案】C

4 ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）为了得到函数

y?3?(1)x的图象,可以把函数y?(1)x33的图象

A．向左平移3个单位长度

B．向右平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

【答案】D

二、填空题

5 ．（山东省枣庄市滕州一中2014届高三10月第一次单元测试数学（理）试

1、教材分析 2、课时规划 3、教学目标分析 4、教学思路 5、教学过程设计 一、复习引入 二、知识串讲： 课程名称：函数的对称性与周期性 教学内容和地位： 内容： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 地位： 函数是整个高中数学的重点，而函数的性质则是函数主要的考点。 教学重点： 1.函数的对称性 2.函数的周期性 3.函数的对称性与周期性 4.复合函数的对称性与周期性 教学难点：复合函数的对称性与周期性 课时：3课时 掌握函数单调性和奇偶性的定义，会利用函数的对称性与周期性求解题目。 1．导入 2.集合部分知识点串讲 3.例题精讲 4.易错点，考点，综合应用，典型图形 5.小结 必讲知识点 （一）同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对

时空对称性与守恒律

信息系统与管理学院 童绥圣 201005019008

摘要：对称性和守恒律是基本的自然法则，人们在长期的科学探索中发现，自然界的各种对称性与守恒律之间具有相辅相存的密切联系。

关键字：对称性 对称操作 守恒律

引言

作为物理学的最原始、最基本的概念，对称和守恒各自有着深刻的思想渊源。人类对于对称和守恒的认识也是从表面深入到内部，而对称和守恒也经历了从分立走向综合的漫长发展历程。特别是在现代物理学中，对称性和守恒律对科学家来说始终具有非凡的吸引力，是一个非常有趣和深刻的话题。在探索千变万化、纷繁复杂的自然现象的普遍规律的过程中，守恒量与守恒定律是物理学家们长期倾心关注的议题。现代物理学研究表明，自然界中的守恒定律与相应的对称性是密切相关的。因此，认识现代物理学对称性的深刻内涵，明确对称性与守恒律之间的密切联系，对于探究自然规律、揭示宇宙奥秘是十分重要的。

对称和对称操作

德国数学家魏尔在1951年给对称性的普遍的严格定义：对一个事物进行一次变动或操作，如果经过此操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的，而此操作就叫做对称作．由于操作(变换)方式不同可以有若干种不同的对称性。

（1）空间反演操作与镜像

、对称性在物理问题中的应用

张错

(陕西理工学院物理与电信工程学院陕西汉中723000)

【摘要】物理学中存在着大量的与对称性有关的问题，用对称性分析的力法，可以使复杂的物理计算变得简单明了，使物理问题易于求

解_在讨论了对称性在电学和电磁场中的一些应用后，指山了对称性在粒r物理学中的重要应用_在现代物理学中，对称性更是}3i究现代物理

前沿问题的一把钥匙，特别是在微观物理领域中，对称性已经成为}3i究物理问题的一种强有力的手段_

【关键词】对称性;物理学;应用 0引言

对称在自然界中是一种‘常见的物理现象在自然界物质州_界的运 动演化过程中，对称性所呈现的形式是各式各样的_在各种物理问题

的解决过程中，人们经‘常自觉或小自觉地使用对称性，在这些问题中， 如果离开对称性，则有些求解是较为复杂的，而利用对称性来求解，就 可以使复杂问题简单化_在很多对称性物理现象和原理背后隐藏着深 刻的物理愈义，只有对对称性进行深入的研究，才能更好的利用对称 性解决问题_}j究对称性原理在物理学中的应用是对真理，对美的 种追求上

对称性已经成为}j究物理问题的一种强有力的手段

怀文中学2011---2012学年度第一学期教学设计

初 二 数 学（1.4线段、角的轴对称性1）

主备：陈秀珍 审核：曼玉 日期：2012-8-31

学习目标：

1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质；

3．了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合；

4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力．

教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质． 教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合． 教学过程：

一．自主学习（导学部分）

1．按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？

按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 线段是轴对称图形吗？为什么？

2．例1你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？

题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？

二．合作、探究、展示

活动一 对折线段

问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？

问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系

怀文中学2011---2012学年度第一学期教学设计

初 二 数 学（1.4线段、角的轴对称性1）

主备：陈秀珍 审核：曼玉 日期：2012-8-31

学习目标：

1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质；

3．了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合；

4．在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力．

教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质． 教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合． 教学过程：

一．自主学习（导学部分）

1．按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？

按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？ 线段是轴对称图形吗？为什么？

2．例1你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？

题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？

二．合作、探究、展示

活动一 对折线段

问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？

问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系

30数学教学研究　　　　　　　　　　　　　2006年第6期

设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840,设纸

因此S(λ1)-S(λ2)<0,所以S(λ)在区间

,内单调递增.3张面积为S,则有

S=(x+16)(λx+10)

2

λ+10)x+160.=λx+(16

从而,对于λ纸张面积最小.

将x=

代入上式,得,8<时,S取得最小值,此8

=88cm,宽为λx= 88λ8

,,则当λ=时,所用33

评注　本题取材于现实生活中的实际问题,重点考查建立函数关系式、求函数最值的技能技巧和运用所学数学知识解决实际问题的能力.建立起函数关系式以后,为求函数的最小值,不等式的知识在这里发挥了工具作用.

综上可知,,,.因此,要想在,必须高度重视不等式知识的复习和研究,既要掌握好不等式中的基本题型的

S=5000+44

当8λ8时,画面的高为x=

=55cm.

如果λS的表达式,得:

λ1<λ2,,,可设≤

334

S()-)

=44=44

1+-

82-1

2)8-

解法,更要关注不等式与其它数学知识融合在一起的综合问题与应用问题的解法,强化运用数学思想方法指导解题的意识,提高应用不等式的知识解题的能力.

(1-

.1λ>0.1λ2

由于

1λ2>,故8-38

函数对称

25.2 圆的对称性第2课时

1.了解圆的中心对称性及旋转不变性； 2.理解圆心角、弧、弦之间的关系定理，能应用定理 解决圆中有关的证明与计算问题.

垂径定圆的轴对称性(圆是轴对称 圆的对称性 图形) 圆的中心对称性 ？?? 理及其 推论

(1)若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°, 你能发现什么？

·

圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形相重合.因此， 圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

(2)若旋转角度不是180°,而是旋转 任意角度，则旋转后的图形能与原图形 重合吗？

B

O

α

A

圆绕圆心旋转任意角度α,都能够与原来的图形重合. 圆具有旋转不变性.

(3)相关概念 圆心角 _______:顶点在圆心的角

圆心角所对的弧 ________________

圆心角所对的弦 ________________

(4)在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之 间的关系A

O B

定 理 推 论

在同圆或等圆中 _______________,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 在同圆或等圆中 _______________,如果两个圆心角以及这两个 角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组

量相等，那么其余各