振动理论答案

1-1 一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?

解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为

，

x=Asin10πt

；

由物体的受力分析，N = 0（极限状态）

物体不跳离平台的条件为：

；

既有 ，

,

由题意可知Hz，得到，mm。

cm及

cm

1-2 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为时的速度分别为

解：

设该简谐振动的方程为

；

20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。

二式平方和为

将数据代入上式：

；

联立求解得

A=10.69cm；

当

时，取最大，即：

1/s；T=

s

得：

答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。

1-3 一个机器内某零件的振动规律为

，x的单位是cm，

1/s 。这个振

动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并

用旋转矢量表示这三者之间的关系。

解：

振幅A=0.583

最大速度 最大加速度

1-4某仪器的振动规律为试用x- t坐标画出运动图

1-1 一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?

解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为

，

x=Asin10πt

；

由物体的受力分析，N = 0（极限状态）

物体不跳离平台的条件为：

；

既有 ，

,

由题意可知Hz，得到，mm。

cm及

cm

1-2 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为时的速度分别为

解：

设该简谐振动的方程为

；

20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。

二式平方和为

将数据代入上式：

；

联立求解得

A=10.69cm；

当

时，取最大，即：

1/s；T=

s

得：

答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。

1-3 一个机器内某零件的振动规律为

，x的单位是cm，

1/s 。这个振

动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并

用旋转矢量表示这三者之间的关系。

解：

振幅A=0.583

最大速度 最大加速度

1-4某仪器的振动规律为试用x- t坐标画出运动图

《振动力学》——习题

单自由度系统的自由振动

2-1 如图2-1 所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物W2

从高度为h处自由下落到W1上且无弹跳。试求W2下降的最大距离和两物体碰撞后 的运动规律。

图2-1 图2-2

2-2 一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，

如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求 出振动固有周期。

2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求

其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4

2-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况

系统作垂直振动的固有频率：

（1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A

端弹簧的刚度为k。并问铰链支

§4.5随机振动(PSD)分析步骤

PSD分析包括如下六个步骤： 1．建造模型； 2．求得模态解； 3．扩展模态； 4．获得谱解； 5．合并模态； 6．观察结果。

以上六步中，前两步跟单点响应谱分析一样，后四步将在下面作详细讲解。ANSYS/Professional产品中不能进行随机振动分析。

如果选用GUI交互方法进行分析，模态分析选择对话框（MODOPT命令）中包含有是否进行模态扩展选项（MXPAND命令），将其设置为YES就可以进行下面的：扩展模态。这样，第二步（求得模态解）和第三步（扩展模态）就合并到一个步骤中进行计算。

§4.4.9建造模型

该步与其它分析类型建立模型的过程相似，即定义工作名、分析的标题、单元类型、单元实常数、材料性质、模型几何形状等。注意以下两点：

·只有线性行为在谱分析中才是有效的。任何非线性单元均作为线性处理。如果含有接触单元，那么它们的刚度始终是初始刚度，不再改变；

·必须定义材料弹性模量（EX）（或其他形式的刚度）和密度（DENS）。材料的任何非线性将被忽略，但允许材料特性是线性的、各向同性或各向异性以及随温度变化或不随温度变化。

§4.5.0获得模态解

结构的模态解（固有频率和振型）是计算谱解所必须

第一章

2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg?k?

其中?为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3??=24EJ

24EJ3则 k=h

设静平衡位置水平向右为正方向，则有

mx??kx

所以固有频率

\pn?24EJmh3

2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

?

F

F h

Fsin?

?2

?

mg

?

解：给杆一个微转角? a2?＝h?

2F＝mg

由动量矩定理： ???MI?I??1ml212aa2M??Fasin??cos??mg???mga228h

其中

?sin???cos?12 21???mg?a??0ml2?124h3ga22pn?2lh

?

2πl2h2πlhT??2π?pna3g 3ga22-3 求题2-3图中系统的

《振动力学》——习题

第二章 单自由度系统的自由振动

2-1 如图2-1 所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上且无弹跳。试求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

x1 x12 x0 平衡位置 x

解：

W2h?

动量守恒：

1W22v2，v2?2gh 2gW2W2W?W22gh v2?1v12，v12?W1?W2gg

平衡位置：

W1 kW?W2W1?W2?kx12，x12?1

kW1?kx1，x1?

故：

x0?x12?x1?W2 k?n?

故：

kkg?

?W1?W2?gW1?W2?0xx??x0cos?nt? ??x0cos?nt?

?nv12sin?nt

?nsin?nt2-2 一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角?

a2?＝h?

2F＝mg

由动量矩定理：

???MI?I??1ml212aa2M??Fasin??cos??mg???mga228h

?其中

sin???cos?12

1a22??ml

请打双面

习题与综合训练 第一章

2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子

高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，

可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k

则 mg?k?

其中?为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3??=24EJ

24EJ 则 k=h3

设静平衡位置水平向右为正方向，则有 \ mx??kx

p24EJn? 所以固有频率

mh3 ?

F F

h

?

mg

2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角?

a2?＝h?

2F＝mg

由动量矩定理： I????MI??112ml2??Fasin??cos?2??mga2???mga2M8ha

其中

sin???cos?2?1 1a212ml2????mg?4h??0p2?3ga2

第九章 振动

思考题

9.1 什么叫作简谐振动？如某物理量x的变化规律满足x?Acos(pt?q)，A、p、

q均为常数，能否说x作简谐振动？

答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：

d2x2??若物体相对平衡位置的位移（角位移）x满足动力学方程 0x?0，且?0由2dt振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；

若物体相对平衡位置的位移（角位移）x满足运动学方程 x?Acos?(0t??)，且?0由振动系统本身性质决定，A、?由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。以x0和

v0x分别表示t?0时物体的初始位移和初始速度，则式中 A?x?cos??202v0x?20；?可由

x0vv、sin???0x和tg???0x三式中的任意两个来决定。 A?0A?0x0上述运动学方程是动力学方程（微分方程）的解，A、?是求解时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。

如某物理量x的变化规律满足x?Acos(pt?q)，A、p、q均为常数，不能说x

基础物理（II）第9、10章测验试题

一、单选题：（每题4分，共40分）

1、 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）

A，2

题5-１ 图

分析与解：（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B）．

2、 一简谐运动曲线如图所示，则运动周期是（ ）

（A） 2.62s （B）2.40s （C）2.20s （D）2.00s

b

分析与解： 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A，且向

2x轴正方向运动，其相应的旋转矢量图（b），由旋转矢量法可知初始相位为??。

3振动曲线上给出质点从A处运动到x?0处所需时间为1s，由

2对应旋转矢量图可知相应的相位差：

5??????，

326??则角频率为：??周期：T?2??

??5??rad?s?1， ?t6b

?2.40s，故选（B）.

3、 两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示，x1的相位比x2 的相位（ ） （A） 落后 （B）超前 （C）落后π （D）超前π

π2π2分析与解：t=0时x1在

东 北 大 学

研 究 生 考 试 试 卷

评分

考试科目： 机械振动理论基础及应用 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 2012.07 姓 名： 林云成 学 号： 1100503

注 意 事 项

1．考 前 研 究 生 将 上 述 项 目 填 写 清 楚 2．字 迹 要 清 楚，保 持 卷 面 清 洁

3．交 卷 时 请 将 本 试 卷 和 题 签 一 起 上 交

东北大学研究生院

扁担

摘要：本文着眼点是中国民间的一种生活用具—扁担。通过对扁担的分析，简化后提取其振动模型，然后利用ANSYS有限元进行仿真分析，意图在于探讨挑担者的行走频率与振动的关系，揭示扁担省力的过程，然后通过对振动模型的理论推导来验证仿真的正确性，互为佐证。

关键词：扁担 有限元 受迫振动 弹簧阻尼系统

清晨的乡间小路，薄薄雾霭，一个挑担者的背影，便是一幅美丽动人的画面了。扁担—一个凝结着中国人智慧的普通工具，