量子力学自学辅导与参考答案

8《量子力学》自学辅导之八——狄拉克符号和占有数表象

第! !

卷第

期

大

学

物

理

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23

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《量子力学》自学辅导之八

—狄拉克符号和占有数表象曾心愉”,

4

宋宇辰

’4

裴文杰 5 4,

,

4

复旦大学物理系 6

复旦大学理论物理骨干教师班

上海

5

7

狄拉克符号对量子体系的描述们都有一个共同的特点,,

、 9、 0了 80 9、矛既可采用波动力学的方法0

9

,

又可采用矩阵力学的方法0

但不论采取什么形式,

,

时价二?成…嵘: 3,,

,

,

,

…

一

艺泌

3

。

? 4

它

即与体系有关的所有信息都波函数可写成,

将由波函数给出

而且极为重要的是0

各类力学量的本征函数的线性组合平方具有力学量概率的意义于是

而展开系数模的人们抓住事物的

。,注意:必沙护沙价奋方0 0

,

狄拉克符号的引入0

0

对于态空间中少与沙0

十

,

本质而思索这样的问题系,

:

能否不从单一角度去描述体,

从形式上看具有明显的不对称性

狄拉克认为它们应0

而用统一的方式全面地概括体系的所有性质及概构造了一个抽象的一“、

该分属于两个不同的空间引人符号>Β用>妙Β表示,,

这两个空间叫做伴随空间0 0

念;狄拉克从数学理论方面般的矢量、0

称为右矢

微观体系的任一状态妙,

捷灵活地

习题一

1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理：

（1）能量为0.025eV 的慢中子24n 1.6710g m -=?（）被铀吸收；

（2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=?（）；

（3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。

解：（1）由242220m c p c E +=

注意到：2851.503109.3810n m c J Mev -=?=?>>0.025ev 得2

2k p E m = 利用Einstein-de Broglie 关系

h

p λ=

得：0.181nm λ=

而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。

（2）由242220m c p c E +=

注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=?=?>> 6.4fm λ=

得h εν=

利用Einstein-de Broglie 关系

h p λ

=

得： 6.4fm λ=

这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。

（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。

代入Einstein-de Broglie 关系

(一) 单项选择题

1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A. B. 1.5A. C. 2.1A. D. 2.5A. 2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A. B. 0.9A. C. 0.5A. D. 1.8A.

3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A. B.1.9?104.温度T=1k时，具有动能E?0000?1200000000A. C.1.17?100?12A. D. 2.0A.

003kBT(kB 为Boltzeman常数)的氦原子的De Broglie 波长是 20 A.8A. B. 5.6A. C. 10A. D. 12.6A.

5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n?0,1,2,?）

1 A.En?n??. B.En?(n?)??. C.En?(n?1)??. D.En?2n??.

26.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是

A.5.2A. B. 7.1A.

《ДОРОГА В РОССИЮ》第２册辅导教材

Урок 1

I. Грамматика 1、序数词

пе?рвый第一 второ?й 第二 тре?тий 第三 четв?ртый 第四 пя?тый 第五 шесто?й 第六 седьмо?й 第七 восьмо?й 第八 девя?тый 第九 деся?тый 第十 оди?ннадцатый 第十一 двена?дцатый 第十二 трина?дцатый 第十三 четы?рнадцатый 第十四 пятна?дцатый 第十五 шестна?дцатый 第十六 семна?дцатый 第十七

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

当经典物理遇上量子力学

量子力学来源于那晴朗天空中的两朵乌云之一，正是那朵乌云引起了人们对物理世界的重新认识。量子力学的重要性不亚于当年的牛顿力学，其在物理学史上具有划时代意义，对于研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质具有重要的作用。 此前经典物理曾取得了一系列的重大成就，然而在19 世纪末，德国物理学家维恩发现的热辐射理论却是用经典物理所无法解释的，正是这一成果促进了量子力学的产生。从此出现了一门与经典力学不同的理论的诞生。

量子力学与经典力学的核心差异在于对粒子与波的认识。经典力学认为粒子与波是完全不同的，两者毫无联系，相互独立。而量子力学认为物质具有波粒二象性，统一了粒子与波。

对于经典物理的基本观念有连续性，因果性，确定性。我们可以用r,p,t等物理量来准确的描述物体的运动状态等。但量子力学的思想在于不连续性，不因果性，不确定性。不连续性是指物质和能量都有最小的单位，是一份一份的;不确定性认为人们无法同时给定物质所有的参数，一个知道的越详细，另一个就越不准确；不因果性则是即使你知道所有参数（虽然理论上不能），你得到的也只是个概率的结果。于是量子力学采用波函数来描述粒子的状态，量子力学中的力学量可以用由满足一定条

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

宝鸡文理学院试题

课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

注意事项:

1. 所有题目的答卷必须写在答题纸上

2. 证明题和计算题必须写出主要过程

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)

１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。 ２、波函数的标准条件为（ ）。 ３、正交归一方程umund???mn的狄拉克表示为（ ）。 4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

?*?2和L?的共同本征函数为（ ）5、L。 z二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）

１、?与?对易，则两算符：

(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

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