常微分方程教程丁同仁答案第三章

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

习题 2-1

判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．(3x2 1)dx+(2x+1)dy=0

解：P(x,y)=3x2 1，Q(x,y)=2x+1， 则

２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0

解：P(x,y)=x+2y, Q(x,y)=2x y,

Q P P Q

即，原方程不是恰当方程． =2，所以 =0，≠

x y y x

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =2, 所以=2,=

x y y x

则xdx+(2ydx+2xdy) ydy=0,

x2y2

两边积分得：+2xy =C.

22

3．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0 (a,b和c为常数)．

解：P(x,y)=ax+by, Q(x,y)=bx+cy,

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =b, 所以=b,=

x y y x

则axdx+（）bydx+bxdy+cydy=0,

ax2cy2

两边积分得：+bxy+=C.

22

4．(ax by)dx+(bx cy)dy=0

(b≠0)

解：P(x,y)=ax by, Q(x,y)=bx cy,

则

Q P Q P

，即，原方程不为恰当方程 =b, 因为 b≠0, 所以≠= b,

x

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第三章 常微分方初值程问数题解法值3.1引 言 3. 2简的数单方值法与本概基念

3.3 格-库龙方塔法.4 单步3法收的性敛稳与性定

.53 性线多步法36.方 程组高阶和方

程3

数值分析教学课件

.1引 言章本论一阶常微分讨方程初值的题问： y f( x ,y ) y x(0 ) y 0只要数函 f x,( y )当光适—如滑满足利普茨希条件：f x( ,y) f ( ,xy ) Ly y

论理就上保证能值问题的解 y初 y( x )存 在并且唯一。所 谓数值法解就，寻求解是 y(x) 在 系一列散离点x1 x2 xn xn 1

上的近 值 y 似, , , yy ,y , ,相两个点间邻距的离h xx 称为步 长一。情般下我况取们h h i( 1, , 2)为 数常，是节点这： x 为 x n, hn 0 ,1 2, ,1 2 nn n1n 1 n in

数值分析教学课件

3.1 0言引初值题问的解求一有基个特点，本们都是它取 采“进式步”求解，的，一即步一地求函步数值。 求的的解主方法要：是对方程进行离散化先，立

常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案xxxeee, 则证明:?y,x(dx，c),y,dx，c，x,,,xxx习题 1-1

xxxeeex,?dxcx ，，,x(dx，c),xexxy,y,,,1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: xxx

2x,2x,,y,4y,0.(,) y,ce，ce,2,12()x,c1,x',,,,,,,c1(,) ,||.y2x,2x4,y？证明: 则y,ce，

ce,,12yx0,,,,,,cc122x,2x,,2y=2ce,2ce,,()x,12c2x,,,,，,,c242x,2x,,,,,y,4y ,0.y,4ce，4ce,? ,,,,x证明: (1)当时，12c1sinx2,y,,(,) ( xy，

y,cosxx()x,,c1'c1,y=,==. ||y,yx42

sinx其他情况类似. xcosx,sinxy,,,证明:? 则 y,2,(求下列初值问题的解: xx

,,,,,,y(0),a,(,) ( y(0),a,y(0),ay,x,012xcosx,sinxsinx

,xy，y,，,cosx 12,,,,,,,y,x，c,解:? ? ?y(0),a，?c,a， y,x,xx12122 x1e3x,,y

常微分方程

2.1

dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx 解：对原式进行变量分离得

1.

1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2

2.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

2解：对原式进行变量分离得：

?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x

ydy3 ?dxxy?x1?23y

解：原式可化为：

dy?dx1?y2y?1x?x显然31?y2y?0,故分离变量得y1?ydy?21x?x23dx221两边积分得ln1?2y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx

故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?01?x1?y解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离dx?dy?0xy两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的

常微分方程

2.1

dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx 解：对原式进行变量分离得

1.

1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2

2.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

2解：对原式进行变量分离得：

?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x

ydy3 ?dxxy?x1?23y

解：原式可化为：

dy?dx1?y2y?1x?x显然31?y2y?0,故分离变量得y1?ydy?21x?x23dx221两边积分得ln1?2y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx

故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?01?x1?y解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离dx?dy?0xy两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的

常微分方程 习题2.2

求下列方程的解 1．

dy

dx

=y sinx 解： y=e dx( sinxe dx

dx c)

=ex[-

12e x

(sinx cosx)+c] =c ex-1

2

(sinx cosx)是原

方程的解。 2．

dx

dt

+3x=e2t 解：原方程可化为：

dx

=-3x+e2tdt

所以：x=e 3dt

(

e

2t

e

3dt

dt c) =e 3t (1

e5t5+c)

=c e 3t+1

e2t5

是原方

程的解。

3．

ds

dt

=-scost+12sin2t

解：s=e costdt( 1

2

sin2te 3dtdt c )

=e sint( sintcostesintdt c) = e sint(sintesint esint c) =ce sint sint 1 是原方程的解。 4．

dydx x

n

y exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dydx x

n

y exxn

n

n

y e

xdx

( exxn

e

xdx

dx c)

xn(ex c) 是原方程的解.

5．

dydx+1 2x

x

2y 1=0 解：原方程可化为：dydx=-1 2x

x

2y 1

x 1 2xy e

2x

2

dx

(e

1x2

dx

dx c)

2 e

(lnx 1

常微分方程 习题2.2

求下列方程的解 1．

dy

dx

=y sinx 解： y=e dx( sinxe dx

dx c)

=ex[-

12e x

(sinx cosx)+c] =c ex-1

2

(sinx cosx)是原

方程的解。 2．

dx

dt

+3x=e2t 解：原方程可化为：

dx

=-3x+e2tdt

所以：x=e 3dt

(

e

2t

e

3dt

dt c) =e 3t (1

e5t5+c)

=c e 3t+1

e2t5

是原方

程的解。

3．

ds

dt

=-scost+12sin2t

解：s=e costdt( 1

2

sin2te 3dtdt c )

=e sint( sintcostesintdt c) = e sint(sintesint esint c) =ce sint sint 1 是原方程的解。 4．

dydx x

n

y exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dydx x

n

y exxn

n

n

y e

xdx

( exxn

e

xdx

dx c)

xn(ex c) 是原方程的解.

5．

dydx+1 2x

x

2y 1=0 解：原方程可化为：dydx=-1 2x

x

2y 1

x 1 2xy e

2x

2

dx

(e

1x2

dx

dx c)

2 e

(lnx 1

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

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u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

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《常微分

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y