同济大学高等数学教案
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同济大学_高等数学公式大全
高等数学公式
导数公式:
(tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secx tanx(cscx) cscx cotx(ax) axlna
1
(logax)
xlna
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
(arcsinx)
1
x2
1
(arccosx)
x21
(arctanx)
1 x2
1
(arccotx)
1 x2
tanxdx lncosx C cotxdx lnsinx C
secxdx lnsecx tanx C cscxdx lncscx cotx C
dx1x
C a2 x2aadx1x a
ln x2 a22ax a Cdx1a x
a2 x22alna x Cdxx
arcsin C a2 x2
a
2
n
dx2
sec cos2x xdx tanx Cdx2
csc2 sinx xdx cotx C
secx tanxdx secx C
cscx cotxdx cscx C
ax
adx lna C
x
shxdx chx C chxdx shx C
dxx2 a2
ln(x x2 a2) C
2
In sinxdx cosnxdx
n 1
In 2n
x2a22
x adx x a ln
大学高等数学教案资料
,.
高等数学教材
,.
一、函数与极限
1、集合的概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合
⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中
高等数学教案
第一章 函数与极限 §1.1 映射与函数 1.直积或笛卡儿乘积: 设A,B是任意两个集合, A?B?{(x , y)x?A且y?B}. 2.两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域. 例如 .
3.点a是数轴上一点,??0,点a的?邻域:
(a?? , a??)
-----高等数学教案 第一章 函数与极限 第1页 共94页-----
[a , b]?[c , d]?{(x , y)x?[a , b] , y?或 {xa???x?a??} 或 {xx?a??} 记为U(a , ?).
4.点a的去心?邻域:
(a?? , a)?(a , a??)
或
{xa???x?a或a?x?a??} 或 {x0?x?a??} 记为U(a , ?). 5.点a的左?邻域: (a?? , a).
-----高等数学教案 第一章 函数与极限 第2页 共94页-----
?6.点a的右?邻域: (a , a??).
7.函数是实数集到实数集的映射f.单值函数是指对于定义域Df内的任何实
同济大学(高等数学)_第十章_重积分
第十章 重积分
一元函数积分学中,我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分,并已经建立了定积分理论,本章将把这一方法推广到多元函数的情形,便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.
第1节 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念
下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义.
1.1.1. 曲顶柱体的体积
曲顶柱体是指这样的立体,它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D,其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面,其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?,且f?x,y??0所表示的曲面(图10—1).
图10—1
现在讨论如何求曲顶柱体的体积.
分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图10—2).
图10—2
(1)分割闭区域D为n个小闭区域
??1,??2,?,??n,
1
同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积,用d?Δσi?表示区域Δσi的直径(一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值),相应地此曲顶柱体被分为n个小
同济大学高等数学 - 第十章 - 重积分
第十章 重积分
一元函数积分学中,我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分,并已经建立了定积分理论,本章将把这一方法推广到多元函数的情形,便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.
第1节 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念
下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积
曲顶柱体是指这样的立体,它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D,其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面,其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?,且
f?x,y??0所表示的曲面(图
10—1).
图10—1
现在讨论如何求曲顶柱体的体积.
分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图10—2).
图10—2
(1)分割闭区域D为n个小闭区域
同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积,用d?Δσi?表示区域Δσi的直径(一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值),相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.
(2)在每个小闭区域上任取一点
对第i个小曲
同济大学(高等数学) - 第五章 - 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
本章开始讨论积分学中的另一个基本问题:定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后,来讨论定积分的应用问题.
第1节 定积分的概念与性质
1.1 定积分问题举例 1.1.1
曲边梯形的面积
曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?
求曲边梯形的面积的近似值?
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点(图5-1)
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,
把?a,b?分成n个小区间
?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,
它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?
经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1
同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程
第三篇 常微分方程
第六章 常微分方程
函数是研究客观事物运动规律的重要工具,找出函数关系,在实践中有重要意义.但是在许多问题中,常常不能直接找出这种函数关系,但却能根据问题所处的环境,建立起这些变量和它们的导数(或微分)之间的方程,这样的方程称为微分方程.
在本章中,主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法.
第一节 微分方程的概念
下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念.
1.1 引例
引例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x,求这条曲线方程.
解 设所求曲线方程为y?f(x),且曲线上任意一点的坐标为(x,y).根据题意以及导数的几何意义得
dy?2x. dx 两边同时积分得
y?x?c (c为任意常数).
又因为曲线通过(1,2)点,把x?1,y?2代入上式,得c?1.故所求曲线方程为
2y?x2?1.
?引例2 将温度为100C的物体放入温度为0?C的介质中冷却,依照冷却定律,冷却的
速度与温度T成正比,求物体的温度T与时间t之间的函数关系.
解 依照冷却定律,冷却方程为
dT, ??kt (k为比例常数)
高等数学同济大学第六版 6-3答案
习题6?3
1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?
解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?
0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功? 解 由玻?马定律知?
PV?k?10?(?102?80)?80000??
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则
P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?
80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m
高等数学同济大学第六版 6-3答案
习题6?3
1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?
解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?
0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功? 解 由玻?马定律知?
PV?k?10?(?102?80)?80000??
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则
P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?
80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m
高等数学上册课后答案(同济大学第六版)
高数上册答案
高等数学第六版上册课后习题答案
第一章:
习题1 1
1 设A ( 5) (5 ) B [ 10 3) 写出A B A B A\B及A\(A\B)的表达式
解 A B ( 3) (5 )
A B [ 10 5)
A\B ( 10) (5 ) A\(A\B) [ 10 5)
2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (A B)C AC BC 证明 因为
x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x AC BC 所以 (A B)C AC BC
3 设映射f X Y A X B X 证明 (1)f(A B) f(A) f(B)
(2)f(A B) f(A) f(B) 证明 因为
y f(A B) x A B 使f(x) y
(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)
y f(A) f(B) 所以 f(A B) f(A) f(B) (2)因为
y f(A B) x A B 使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f